Інші завдання дивись тут...

Завдання 613 Винесення спільного множника за дужки

а) 5a – 10c = 5(a – 2c)

б) 4x² – 4x = 4x(x – 1)

в) a²c² – ac = ac(aс – 1)

Завдання 614 Розклад на множники

а) a² – n² = (a – n)(a + n)

б) 1 – c²x²=(1 – cx)(1 + cx)

в) 9 – a4=(3 – a2)(3 + a2)

Завдання 615 

а) 1 – 2n + n² = (1 – n)²

б) x² – 2xy + y² = (x – y)²

в) 1 + 2c² + c4 = (1 + c²)²

Завдання 616 Куб многочлена

а) x³ – y³ = (x – y)(x² + xy + y²)

б) a³ + 8 = (a + 2)(a² – 2a + 4)

в) 27 – c³ = (3 – c)(9 + 3c + c²)

 

Завдання 617  

1) a² – 1 = (a – 1)(a + 1)     а² + 2a + 1 = (a + 1)²     1 + x3 = (1 + x)(1 – x + x²)	2) x² – 4 = (x – 2)(x + 2)     x² – 6x + 9 = (x – 3)²     27 – c3 = (3 – с)(3² – 3с + с²)
3) 4c² – 1 = (2c – 1)(2c + 1)     1 – 2m + m² = (1 – m)²     x3 + y3 = (x + y)(x² – xy + y²)	4) 9x² – c² = (3x – c)(3x + c)     a² – 2am + m² = (a – m)²     8x3 + 1 = (2x + 1)(4x2 – 2x + 1)

Завдання 618

a³ + a² + a + 1 = a²(a + 1) + (a + 1) = (a + 1)(a² + 1), тому А (а² + 1)(а + 1)

 

Завдання 619

а) ap² – ax² = a(p² – x²) = a(p – x)(p + x)

б) c³ – cp² = c(c² – p²) = c(c – p)(c + p)

в) 2 – 8a² = 2(1 – 4a²) = 2(1 – 2a)(1 + 2a)

г) 27x² – 75 = 3(9x² – 25) = 3(3x – 5)(3x + 5)

ґ) 18c²x – 2x = 2x(9c² – 1) = 2x(3c – 1)(3c + 1)

д) 100a⁴ – a² = a²(100a² – 1) = a²(10a – 1)(10a + 1)

 

Завдання 620

а) xa² – xc² = x(a² – c²) = x(a – c)(a + c)

б) a³ – an² = a(a² – n²) = a(a – n)(a + n)

в) 20x² – 5 = 5(4x² – 1) = 5(2x – 1)(2x + 1)

г) 100am² – 25ax² = 25a(4m² – x²) = 25a(2m – x)(2m + x)

ґ) 3x³ – 27x = 3x(x² – 9) = 3x(x – 3)(x + 3)

д) 45a – 5a³ = 5a(9 – a²) = 5a(3 – a)(3 + a)

 

Завдання 621 Рівняння     

а) x5 – x3 = 0    x3(x² – 1) = 0    x3(x – 1)(x + 1) = 0    x3 = 0 або x – 1 = 0 або x + 1 = 0    x = 0        x = 1            x = –1	б) x4 – 36x² = 0    x²(x² – 36) = 0    x²(x – 6)(x + 6) = 0    x² = 0 або x – 6 = 0 або x + 6 = 0    x = 0        x = 6            x = –6
в) 12x7 – 3x5 = 0     3x5(4x2 – 1) = 0     3x5(2x – 1)(2x + 1) = 0     x5 = 0 або 2x – 1 = 0 або 2x + 1 = 0     x = 0        x = 1/2          x = –1/2	г) 2x3 – 8x = 0    2x(x² – 4) = 0    2x(x – 2)(x + 2) = 0    x = 0 або x – 2 = 0 або x + 2 = 0    x = 0       x = 2           x = –2
ґ) 4x4 – 9x² = 0     x²(4x² – 9) = 0     x²(2x – 3)(2x + 3) = 0     x² = 0 або 2x – 3 = 0 або 2x + 3 = 0     x = 0        x = 3/2         x = –3/2	д) x5 = 4x3    x3(x² – 4) = 0    x3(x – 2)(x + 2) = 0    x3 = 0 або x – 2 = 0 або x + 2 = 0    x = 0        x = 2           x = –2

Завдання 622 

a) x4 – x² = 0    x²(x² – 1) = 0    x²(x – 1)(x + 1) = 0    x² = 0 або x – 1 = 0 або x + 1 = 0    x = 0        x = 1            x = –1	b) x3 – 25x = 0    x(x² – 25) = 0    x(x – 5)(x + 5) = 0    x = 0 або x – 5 = 0 або x + 5 = 0    x = 0       x = 5            x = –5
c) x4 – 0,04x2 = 0    x²(x² – 0,04) = 0    x²(x – 0,2)(x + 0,2) = 0    x² = 0 або x – 0,2 = 0 або x + 0,2 = 0    x = 0        x = 0,2           x = –0,2

Завдання 623

а) ax² – 2ax + a = a(x² – 2x + 1) = a(x – 1)²

б) 20a³ – 20a² + 5a = 5a(4a² – 4a + 1) = 5a(2a – 1)²

в) 27a⁶ + 3a² – 18a⁴ = 3a²(9a⁴ – 6a² + 1) = 3a²(3a² – 1)²

г) 45x³ + 20x – 60x² = 5x(9x² – 12x + 4) = 5x(3x – 2)²

ґ) mx² + 4mx + 4m = m(x² + 4x + 4) = m(x + 2)²

д) p² + 6xp² + 9x²p² = p²(1 + 6x + 9x²) = p²(1 + 3x)²

 

Завдання 624

а) 4am² + 4am + a = a(4m² + 4m + 1) = a(2m + 1)²

б) 3 – 6a + 3a² = 3(1 – 2a + a²) = 3(1 – a)²

в) 7a² – 28a⁴ + 28a⁶ = 7a²(1 – 4a² + 4a⁴) = 7a²(1 – 2a²)²

г) 6x² – 15x³ – 24x⁴ = 3x²(2 – 5x – 8x²)

 

Завдання 625

а) ax⁴ – x⁴ + ax³ – x³ = x³(x – 1)(a – 1)

б) x³ – x²y + x² – xy = x²(x – y) + x(x – y) = (x² + x)(x – y) = x(x + 1)(x – y)

в) a²b – 6a² – bc² + 6c² = a²(b – 6) – c²(b – 6) = (a² – c²)(b – 6) = (a – c)(a + c)(b – 6)

г) ap² – b + bp² – a = (ap² – a) + (bp² – b) = a(p² – 1) + b(p² – 1) = (a + b)(p² – 1) =

= (a + b)(p – 1)(p + 1)

 

Завдання 626 

а) 4ab + 12b – 4a – 12 = 4b(a + 3) – 4(a + 3) = (a + 3)(4b – 4) = 4(a + 3)(b – 1)

б) 10y² – 6xy² – 5y + 3xy = y(10y – 6x – 5y + 3x) = y(2y(5x – 3x) – (5 – 3x)) =

= y(5 – 3x)(2y – 1)

в) n²a + n²b – 4a – 4b = n²(a + b) – 4(a + b) = (a + b)(n² – 4) = (a + b)(n – 2)(n + 2)

г) 9a – 9 – c²a + c² = (9 – c²)(a – 1) = (a – 1)(3 – c)(3 + c)

 

Завдання 627

а) m² – 2mn + n² – 25 = (m – n)² – 25 = (m – n – 5)(m – n + 5)

б) a² – 6a + 9 – b² = (a – 3)² – b² = (a – 3 – b)(a – 3 + b)

в) 64 – x² + 4xy – 4y² = (8 – x + 2y)(8 + x – 2y)

г) 16 – b² – 8a + a² = (4 – b – a)(4 + b + a)

 

Завдання 628

а) x² – 2ax + a² – 16 = (x – a)² – 16 = (x – a – 4)(x – a + 4)

б) x² + 2x + 1 – a² = (x + 1)² – a² = (x + 1 – a)(x + 1 + a)

в) m² – x² – 4x – 4 = (m – x – 2)(m + x + 2)

г) x² – y² – 6x + 9 = (x – y)(x + y) – 6(x – 1) = (x – y – 3)(x + y + 3)

 

Завдання 629

а) x – a + x² – a² = (x – a) + (x – a)(x + a) = (x – a)(1 + x + a)

б) a² – b² + a – b = (a – b)(a + b) + (a – b) = (a – b)(a + b + 1)

в) 2k + 3p + 4k² – 9p² = (2k + 3p) + (2k + 3p)(2k – 3p) = (2k + 3p)(1 + 2k – 3p)

г) c² – c – m² – m = c² – m² – c – m = (c – m)(c + m) – (c + m)= (c – m – 1)(c + m)

ґ) a³ + b³ – a – b = (a + b)(a² – ab + b²) – (a + b) = (a + b)(a² – ab + b² – 1)

д) x – y – x³ + y³  = (x – y) – (x – y)(x² + xy + y²)= (x – y)(1 – x² – xy – y²)

 

Завдання 630

а) a² – b² – a – b = (a – b)(a + b) – (a + b) = (a – b – 1)(a + b)

б) 3c – 3d + c² – d² = 3(c – d) + (c – d)(c + d) = (c – d)(3 + c + d)

в) 5a – 2c – 25a² + 4c² = (5a – 2c) – (5a – 2c)(5a + 2c) = (5a – 2c)(1 – 5a + 2c)

г) x² + y – y² + x = x² – y² + x + y = (x + y)(x – y) + (x + y) = (x + y)(x – y + 1)

ґ) x³ – a³ + x – a = (x – a)(x² + ax + a²) + (x – a) = (x – a)(x² + ax + a² + 1)

д) a + b – a³ – b³ = (a + b) – (a + b)(a² – ab + b²)= (a + b)(1 – a² + ab – b²)

 

Завдання 631

а) ac² + bc – bc² – ac = c(ac – bc) – ac = c(a – b)(c – a)

в) ax – a² + ax² – a³ = a(x – a + x² – a²) = a(x – a + (x – a)(x + a)) = a(x – 1)(1 + x + a)

б) a²b + 3a + 3ab + a² = a²(b + 1) + 3a(b + 1) = (a² + 3a)(b + 1) = a(a + 3)(b + 1)

г) 9a² + 6ab + b² + 3a + b = (3a + b)² + 3a + b = (3a + b)(3a + b + 1)

 

Завдання 632

а) 2ax – axy + 2ay – ay² = a(2x – xy + 2y – y²) = a(x(2 – y) + y(2 – y)) = a(2 – y)(x + y)

б) a³ – ab² – a² – ab = a(a² – b² – a – b) = a(a – b)(a + b – 1)

в) nx + cx + c³x + c²nx = x(n + c + c³ + c²n) = (x(n + c + c²(c + n)) = x(c + n)(1 + c²)

г) x² – 2xy + y² + x – y = (x – y)² + (x – y) = (x – y)(x – y + 1)

 

Завдання 633

Наведіть приклад двочлена, який є одночасно різницею квадратів і різницею кубів. Розкладіть його на множники.

(x³ – y³) − (x² – y²) = (x – y)(x² + xy + y²) – (x – y)(x + y) = (x – y)(x² + xy + y² – x – y)

 

Завдання 634

а) 1/8 x – 2x³ = 1/8 x(1 – 16x²) = 1/8 x(1 – 4x)(1 + 4x)

б) 2/3 a⁴ – 3/8 a²x⁴ = 1/24 a²(16a² – 9x⁴) = 1/24 a²(4a – 3x²)(4a + 3x²)

в) 1/4ac² – ac + a = 1/4a(c² – 4c + 4) = 1/4 a(c – 2)²

г) 2/9a – 1/2a³c² = 1/18 a(4 – 9a²c²) = 1/18 a(2 – 3ac)(2 + 3ac)

 

Завдання 635

а) 3x² – 27/16 x⁴ = 3/16 x²(16 – 9x²) = 3/16 x²(4 – 3x)(4 + 3x)

б) 2/9 a – 1/2 a³c² = 1/18 a(4 – 9a²c²) = 1/18 a(2 – 3ac)(2 + 3ac)

 

Завдання 636

а) a⁴ – 6a³ + 54a – 81 = (a² – 9)(a² + 9) – 6a(a² – 9) = (a² – 9)(a² – 6a + 9) =

= (a – 3)(a + 3)(a – 3)² = (a + 3)(a – 3)³

б) x⁴ – 10x³ + 250x – 625 = (x² – 25)(x² + 25) – 10x(x² – 25) = (x² – 25)(x² – 10x + 25) =

= (x – 5)(x + 5)(x – 5)² = (x + 5)(x – 5)³

 

Завдання 637

а) m⁴ + 4m³ – 16m – 16 = (m² – 4)(m² + 4) + 4m(m² – 4) = (m² – 4)(m² + 4m + 4) =

= (m – 2)(m + 2)(m + 2)² = (m – 2)(m + 2)³

б) a⁴ – 8a³ + 128a – 256 = (a² – 16)(a² + 16) – 8a(a² – 16) = (a² – 16)(a² – 8a + 16) =

= (a – 4)(a + 4)(a – 4)² = (a + 4)(a – 4)³

 

Завдання 638

а) ac + bc – 2c – acx – bcx + 2cx = c(a + b – 2 – ax – bx + 2x) =

= c(a + b – 2 – x(a + b – 2)) = c(a + b – 2)( 1 – x)

б) a²x² + a²y² + 2ax² + 2ay² + x² + y² = a²(x² + y²) + 2a(x² + y²) + (x² + y²) =

= (x² + y²)(a² + 2a + 1)

 

Завдання 639

а) x³ + 2x² – acx – 2cx – cx² + ax² = x²(x + 2x – ac – 2c – cx + ax) =

= x(x(x + 2 + a) – c(a + 2 + x))

б) a²x² + a²y² – 2ax² – 2ay² + x² + y² = a²(x² + y²) – 2a(x² + y²) + (x² + y²) =

= (x² + y²)(a² – 2a + 1)

 

Завдання 640

а) (2n + 3)² – (n – 1)² = ((2n + 3) – (n – 1)) • ((2n + 3) + (n – 1)) = (n + 4)(3n + 2)

б) 4(x – y)² – (x + y)² = (2(x – y) – (x + y)) • (2(x – y) + (x + y)) =

= (2x – 2y – x – y) • (2x – 2y + x + y) = (x – 3y)(3x – y)

в) a² – 2ac + c² – x² – 2x – 1 = (a – c)² – (x + 1)² = ((a – c) – (x + 1)) • ((a – c) + (x + 1)) =

= (a – c – x – 1)(a – c + x + 1) 

г) c² + 4ac + 4a² – m² + 2mn – n² = (c + 2a)² – (m – n)² =

= ((c + 2a) – (m – n)) • ((c + 2a) + (m – n)) = (c + 2a – m + n)(c + 2a + m – n)

 

Завдання 641

а) (3a + 2p)² – (a + p)² = ((3a + 2p) – (a + p)) • ((3a + 2p) + (a + p)) = (2a + p)(4a + 3p)

б) 9(p + q)² – (p – q)² = ((3(p + q)) – (p – q)) • ((3(p + q)) + (p – q)) = (2p + 4q)(4p + 2q)

в) a⁴ – 2a² + 1 – p² + 2pc – c² = (a² – 1)² – (p – c)² = ((a² – 1) – (p – c)) • ((a² – 1) + (p – c)) =

= (a² – 1 – p + c)(a² – 1 + p – c)

г) p² + 6pq + 9q² – a² + 4a – 4 = (p + 3q)² – (a – 2)² = ((p + 3q) – (a – 2)) • ((p + 3q) + (a – 2))=

= (p + 3q – a + 2)(p + 3q + a – 2)

 

Завдання 642

а) 3x⁵ – x⁴ – 3x + 1 = x⁴(3x – 1) – (3x – 1) = (x⁴ – 1)(3x – 1) = (x² – 1)(x² + 1)(3x – 1) =

= (x – 1)(x + 1)(x² + 1)(3x – 1)

б) 2a² + a³ – 18a⁴ – 9a⁵ = a²(2 + a – 18a² – 9a³) = a²(2 + a – 9a²(2 + a)) =

= a²(2 + a)(1 – 9a²) = a²(2 + a)(1 – 3a)(1 + 3a) 

в) x⁴ – 37x² + 36 = x⁴ – x² – 36x² + 36 = x²(x² – 1) – 36(x² – 1) = (x² – 1)(x² – 36) =

= (x – 1)(x + 1)(x – 6)(x + 6)

 

Завдання 643

а) c⁵ – 16c – c⁴ + 16 = c(c⁴ – 16) – (c⁴ – 16) = (c – 1)(c⁴ – 16) = (c – 1)(c² – 4)(c² + 4) =

= (c – 1)(c – 2)(c + 2)(c² + 4)

б) 2x² – x⁶ – 2x⁴ + x⁵ = x²(2 – x – 2x² + x³)= x²(–(–2 + x) + x²(–2 + x))= x²(–(–2 + x)(1 – x²))=

= x²(–(–2 + x)(1 – x)(1 + x)) = –x²(–2 + x)(1 – x)(1 + x)

в) x⁴ – 26x² + 25 = x⁴ – x² – 25x² + 25 = x²(x² – 1) – 25(x² – 1) = (x² – 1)(x² – 25) =

= (x – 1)(x + 1)(x – 5)(x + 5)

 

Завдання 644

а) x3 + 2x2 – x = 2    x3 + 2x2 – x – 2 = 0    x²(x + 2) – (x + 2) = 0    (x² – 1)(x + 2) = 0    (x – 1)(x + 1)(x + 2) = 0    x – 1 = 0 або x + 1 = 0 або x + 2 = 0    x = 1           x = –1          x = –2	б) y3 – 3y2 + 4y = 12    y3 – 3y2 + 4y – 12 = 0    y²(y – 3) + 4(y – 3) = 0    (y² + 4)(y – 3) = 0    y² + 4 = 0 або y – 3 = 0                        y = 3
в) x²(x – 3) + 2x(x – 3) + x – 3 = 0    (x – 3)(x² + 2x + 1) = 0    (x – 3)(x + 1)² = 0    x – 3 = 0 або x + 1 = 0    x = 3            x = –1	г) x²(x² – 4x + 4) – 9(x² – 4x + 4) = 0    (x² – 9)(x² – 4x + 4) = 0    (x  – 3)(x + 3)(x – 2)² = 0     x – 3 = 0 або x + 3 = 0 або x – 2 = 0     x = 3            x = –3          x = 2

Завдання 645

а) y3 – 2y2 – y + 2 = 0 y²(y – 2) – (y – 2) = 0 (y² – 1)(y – 2) = 0 (y – 1)(y + 1)(y – 2) = 0 y – 1 = 0 або y + 1 = 0 або y – 2 = 0 y = 1            y = –1           y = 2	б) 2x3 –3x2 + 8x = 12 2x3 – 3x2 + 8x – 12 = 0 x2(2x – 3) + 4(2x – 3) = 0 (2x – 3)(x² + 4) = 0 2x – 3 = 0 або x² + 4 = 0 2x = 3 х = 1,5
в) x²(2x + 1) – 4x(2x + 1) + 8x + 4=0 x²(2x + 1) – 4x(2x + 1) + 4(2x + 1)=0 (2x + 1)(x² – 4x + 4) = 0 (2x + 1)(x – 2)² = 0 2x + 1 = 0 або x – 2 = 0 2x = –1           х = 2 х = –0,5	г) x3(x2 – 6x + 9) – 4x(x2 – 6x + 9) = 0 (x3 – 4x)(x2 – 6x + 9) = 0 x(x² – 4)(x² – 6x + 9) = 0 x(x – 2)(x + 2)(x – 3)² = 0 x=0 або x – 2=0 або x + 2=0 або x – 3=0             x = 2          x = –2       x = 3

Завдання 646

а) 8a3 – 4a2 + 2a – 1 = 0    4a²(2a – 1) + 2a – 1 = 0    (2a – 1)(4a² + 1) = 0    2a – 1 = 0 або 4a² + 1 = 0    2а = 1           а = 0,5

б) 8a3 – 4a2 + 2a – 1 = 4a² + 1     4a²(2a – 1) + 2a – 1 = 4a² + 1     (2a – 1)(4a² + 1) = 4a² + 1     (2a – 1)(4a² + 1) – (4a² + 1) = 0     (2a – 1 – 1)(4a² + 1) = 0     (2a – 2)(4a² + 1) = 0      2a – 2 = 0 або 4a² + 1 = 0      2а = 2      а = 1

Завдання 647

При яких значеннях x сума квадратів виразів x + 1 і x – 1:

а) на 6 більша за квадрат їх пів суми; (x + 1)² + (x – 1)²=(1/2 • (x + 1 + x – 1))² + 6 x² + 2x + 1 + x² – 2x + 1 = (1/2 • 2x)² + 6 2x² + 2 = x² + 6 x² + 2 – 6 = 0 x² – 4 = 0 (x – 2)(x + 2) = 0 x – 2 = 0 або x + 2 = 0 x = 2            x = –2

б) на 84 більша за їх добуток? (x + 1)² + (x – 1)² – 84=(x + 1)(x – 1) x² + 2x + 1 + x² – 2x + 1 – 84=x² – 1 x² = 81 x = 9 або x = –9

Завдання 648

При яких значеннях a: значення виразу a³ + 3a² – а дорівнює 3?

a³ + 3a² – а = 3

a²(a + 3) – (a + 3) = 0

(a + 3)(a² – 1) = 0

(a + 3)(a – 1)(a + 1) = 0

a + 3 = 0 або a – 1 = 0 або a + 1 = 0

a = –3            a = 1            a = –1

 

Завдання 649 Ознаки подільності чисел

Рзниця квадратів двох послідовних непарних чисел ділиться на 8.

Розв'язання 

Нехай дано два послідовних непарних числа: 2а + 1 і 2а + 3. Знайдемо різницю квадратів цих чисел:

(2а + 3)² – (2а + 1)² = (2а + 3 + 2а + 1)(2а + 3 – 2а – 1) = (4а + 4) • 2 = 4 • 2(а + 1) = 8(а + 1)

Отриманий вираз кратний 8, отже, різниця квадратів двох послідовних непарних чисел ділиться на 8.

 

Завдання 650

Квадрат непарного числа при діленні на 8 дає в остачі 1.

Розв'язання 

Квадрат непарного числа дорівнює: (2n + 1)² = 4n² + 4а + 1 = 4n(n + 1) + 1

Число n(n + 1) – парне при будь–яких значеннях n, тоді число 4n(n +1) – кратне 8, тобто ділиться на 8.

 

Завдання 651 Корені рівняння

а) x²(x² + 4x + 4) = (5x)² + 100x + 100     x²(x + 2)² = 25x² + 100x + 100     x²(x + 2)² = 25(x² + 4x + 4)     x²(x + 2)² – 25(x + 2)² = 0     (x² – 25)(x + 2)² = 0     (x – 5)(x + 5)(x + 2)² = 0      x – 5 = 0 або x + 5 = 0 або x + 2=0      x = 5            x = –5          х = –2

б) 4x4 – 12x3 + 9x2 = 36x2 – 108x + 81     x²(4x² – 12x + 9) = 9(4x² – 12x + 9)     x²(2x + 3)² – 9(2x + 3)² = 0     (x² – 9)(2x + 3)² = 0     (x – 3)(x + 3)(2x + 3)² = 0     x – 3 = 0 або x + 3 = 0 або 2x + 3=0     x = 3            x = –3          2x = –3                                         х = –1,5

Завдання 652

а) x²(9x² – 6x + 1) = (6x)² – 24x + 4    x²(3x – 1)² = 36x² – 24x + 4    x²(3x – 1)² = 4(9x² – 6x + 1)    x²(3x – 1)² – 4(3x – 1)² = 0    (x² – 4)(3x – 1)² = 0    (x – 2)(x + 2)(3x – 1)² = 0    x – 2 = 0 або x + 2=0 або 3x – 1=0    x = 2           x = –2          х = 1/3

б) 4x4 + 56x3 + 196x2 = x2 + 14x + 49     4x²(x² + 14x + 49) = x² + 14x + 49     4x²(x + 7)² – (x + 7)² = 0     (4x² – 1)(x + 7)² = 0     (2x – 1)(2x + 1)(x + 7)² = 0      2x – 1 = 0 або 2x + 1=0 або x + 7=0      2х = 1           2х = –1         х = –7      x = 0,5           x = –0,5

Завдання 653

а) x⁴ – 10x² + 9 = x⁴ – x² – 9x² + 9 = x²(x² – 1) – 9(x² – 1) = (x² – 1)(x² – 9) =

= (x – 1)(x + 1)(x – 3)(x + 3)

б) a⁴ + 4b⁴ = a⁴ + 4b⁴ + 4a²b² – 4a²b² = a⁴ + 4a²b² + 4b⁴ – 4a²b² = (a² + 2b²)² – 4a²b² =

= (a² + 2b² – 2ab)(a² + 2b² + 2ab)

в) x⁴ + x² + 1 = x⁴ + 2x² – x² + 1 = x⁴ + 2x² + 1 – x² = (x² + 1)² – x² = (x² – x + 1)(x² + x + 1)

 

Завдання 654 Тотожність

(а – b)³ + (b – c)³ – (а – c)³ =

= (a – b + b – c)(a² – 2ab + b² – (a – b)(b – c) + b² – 2bc + c²) – (a – c)³ =

= (a – c)(a² – 2ab + b² – ab + ac + b² – bc + b² – 2bc + c²) – (a – c)³ =

= (a – c)(a² – 2ab + 3b² + ac – 3bc + c² – a² + 2ac – c²) =

= (a – c)(–3ab + 3b² + 2ac – 2bc) = 3(a – c)(ab – b² – ac + bc) =

= –3(a – c)(b(a – b) – c(a – b)) = –3(a – c)(b – c)(b – c). Тотожність доведено.

 

ЦІКАВІ ЗАДАЧІ

Завдання 655 Рівняння Р. Декарта

а) у3 – 8у2 – у + 8 = 0 y²(y – 8) – (y – 8) = 0 (y – 8)(y² – 1) = 0 (y – 8)(y – 1)(y + 1) = 0 y–8=0 або y–1=0 або y+1=0 y=8           y=1        y=–1

б) x4 – 4x3 – 19x2 + 106x – 120 = 0 x4 – 2x3 – 2x3 + 4x2 – 23x2 + 46x – 60x – 120=0 x3(x – 2) – 2x2(x – 2) – 23x(x – 2) + 60(x – 2)=0 (x – 2)(x3 – 2x2 – 23x + 60) = 0 (x – 2)(x3 – 3x2 + x2 – 3x – 20x + 60) = 0 (x – 2)(x²(x – 3) + x(x – 3) – 20(x – 3)) = 0 (x – 2)(x – 3)(x² + x – 20) = 0 (x – 2)(x – 3)(x² + 5x – 4x – 20) = 0 (x – 2)(x – 3)(x(x + 5) – 4(x + 5) = 0 (x – 2)(x – 3)(x + 5)(x – 4) = 0 x – 2 = 0 або x – 3=0 або x + 5 = 0 або x – 4=0 x = 2            x = 3          x = –5          x = 4

Завдання 656 Числові послідовності

а) 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ...

б) 3, 6, 10, 13, 17, 20, 24, 27, 31, ....

в) 3, 6, 11, 14, 19, 22, 27, 30, 35, ....

 

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

Завдання 657 Спрощення виразів

а) (0,875 + 0,5³)¹⁰ = (0,875 + 0,125)¹⁰ = 1¹⁰ = 1

б) (3⁴ + 19)⁸ = (81 + 19)⁸ = 100⁸ = 10 000 000 000 000 000

в) (4⁴ – 3⁵ – 13)¹² = (256 – 243 – 13)¹² = 0¹² = 0

 

Завдання 658 Рівняння

а) (х – 3)² – х(х + 4) = –1     x² – 6x + 9 – x² – 4x = –1     –10x + 9 = –1     –10x = –1 – 9     –10x = –10     x = 1

б) (4х + 5)(х – 2) – (2х – 1)² = –9     4x² – 8x + 5x – 10 – (4x² – 4x + 1) = –9     4x² – 8x + 5x – 10 – 4x² + 4x – 1 = –9     x – 11 = –9     x = 2

Завдання 659

2 6/7 + 4 8/9 = 2 54/63 + 4 56/63 = 6 110/63 = 7 47/63

Інші завдання дивись тут...