10. Рівняння
1. Яке число називають коренем (розв'язком) рівняння?
Коренем рівняння називають число, яке при підстановці його замість букви перетворює рівняння на правильну числову рівність.
2. Що означає розв'язати рівняння?
Знайти всі його корені або переконатися, що їх взагалі немає.
3. Як знайти невідомий доданок?
Правило знаходження невідомого доданка: щоб знайти невідомий доданок, треба від суми відняти відомий доданок.
4. Як знайти невідоме зменшуване?
Правило знаходження невідомого зменшуваного:щоб знайти невідоме зменшуване, треба до різниці додати від'ємник.
5. Як знайти невідомий від'ємник?
Правило знаходження невідомого від’ємника: щоб знайти невідомий від’ємник, треба від зменшуваного відняти різницю.
Розв’язуємо усно
Завдання 1. Знайдіть значення виразу 53 + х , якщо: 1) х = 29; 2) х = 61.
Розв’язання.
Якщо х = 29, тоді 53 + х = 53 + 29 = 82
Якщо х = 61, тоді 53 + х = 53 + 61 = 114
Завдання 2. Знайдіть значення виразу 12у, якщо: 1) у = 7; 2) у = 20.
Розв’язання.
Якщо у = 7, тоді 12у = 12 • 7 = 84
Якщо у = 20, тоді 12у = 12 • 20 = 240
Завдання 3. Знайдіть за формулою шляху s = 50t відстань (у метрах), яку проходить Петро: 1) за 4 хв; 2) за 10 хв.
Розв’язання.
1) s = 50t = 50 • 4 = 200 (км) ‒ відстань через 4 хв.
2) s = 50t = 50 • 10 = 500 (км) ‒ відстань через 10 хв.
Що означає числовий множник у цій формулі? 50 км/хв ‒ швидкість Петра.
Завдання 4. Число а на 10 більше за число Ь. У вигляді яких з даних рівностей це можна записати:
1) а + Ь = 10; 2) а ‒ b = 10; 3) Ь ‒ а = 10; 4) а ‒ 10 = Ь; 5) b + 10 = а?
Розв’язання.
2) а ‒ b = 10; 4) а ‒ 10 = Ь; 5) b + 10 = а.
Завдання 5. Знайдіть усі натуральні значення а, при яких вираз 20 : а набуває натуральних значень.
Розв’язання.
а = 1, 2, 4, 5, 10, 20
Завдання 6. На одну шальку терезів поставили кілька гир по 2 кг, а на іншу — по 3 кг, після чого терези врівноважилися. Скільки поставили гир кожного виду, якщо разом їх поставили 10?
Розв’язання.
3 кг • 4 = 2 кг • 6
Вправи
Вправа 271.° Яке з чисел 3, 12, 14 є коренем рівняння: 1) х + 16 = 28; 2) 4х ‒ 5 = 7?
Розв’язання.
1) Якщо х = 3, то 3 + 16 ≠ 28, тому 3 не є коренем рівняння.
Якщо х = 12, то 12 + 16 = 28, тому 12 є коренем рівняння.
2) Якщо х = 3, тоді 4 • 3 ‒ 5 = 7, тому 3 є коренем рівняння.
Вправа 272. Яке з чисел 3, 12, 14 є коренем рівняння: 1) 234 ‒ у = 220; 2) 72 : Ь + 13 = 19?
Розв’язання.
1) Якщо х = 3, то 234 ‒ 3 ≠ 220, тому 3 не є коренем рівняння.
Якщо х = 12, то 234 ‒ 12 ≠ 220, тому 12 не є коренем рівняння.
Якщо х = 14, то 234 ‒ 14 = 220, тому 14 є коренем рівняння.
2) Якщо х = 3, то 72 : 3 + 13 ≠ 19, тому 3 не є коренем рівняння.
Якщо х=12, то 72 : 12 + 13 = 19, тому 12 є коренем рівняння.
Вправа 273.°
|
1) х + 34 = 76 х = 76 ‒ 34 х = 42 42 + 34 = 76 76 = 76 |
5 ) х ‒ 546 = 216 х = 216 + 546 х = 762 762 ‒ 546 = 216 216 = 216 |
|
2) 238 + у = 416 у = 416 ‒ 238 у = 178 238 + 178 = 416 416 = 416 |
6) 206 ‒ у = 139 у = 206 ‒ 139 у = 67 206 ‒ 67 = 139 139 = 139 |
|
3) а + 157 = 324 а = 324 ‒ 157 а = 167 167 + 157 = 324 324 = 324 |
7) 895 ‒ а = 513 а = 895 ‒ 513 а = 382 895 ‒ 382 = 513 513 = 513 |
|
4) 356 + Ь = 782; Ь = 782 ‒ 356 Ь = 426 356 + 426 = 782 782 = 782 |
8) m ‒ 2092 = 1067. m = 1067 + 2092 m = 3159 3159 ‒ 2092 = 1067 1067 = 1067 |
Вправа 274.
|
1) х + 48 = 94 х = 94 ‒ 48 х = 46 46 + 48 = 94 94 = 94 |
3) х ‒ 174 = 206 х = 206 + 174 х = 380 380 ‒ 174 = 206 206 = 206 |
|
2) 234 + у = 452 у = 452 ‒ 234 у = 218 234 + 218 = 452 452 = 452 |
4) 378 ‒ Ь = 165. Ь = 378 ‒ 165 Ь = 213 378 ‒ 213 = 165 165 = 165 |
Вправа 275
|
1) (134 + х ) ‒ 583 = 426 134 + х = 426 + 583 134 + х = 1009 х = 1009 ‒ 134 х = 875 (134 + 875) ‒ 583 = 426 426 = 426 |
7) 475 ‒ (х ‒ 671) = 325 х ‒ 671 = 475 ‒ 325 х ‒ 671 = 150 х = 150 + 671 х = 821 475 ‒ (821 ‒ 671) = 325 325 = 325 |
|
2) (208 + х ) ‒ 416 = 137 208 + х = 137 + 416 208 + х = 553 х = 553 ‒ 208 х = 345 (208 + 345) - 416 = 137 137 = 137 |
8) 972 ‒ (у ‒ 504) = 284 у ‒ 504 = 972 ‒ 284 у ‒ 504 = 688 у = 688 + 504 у = 1192 972 ‒ (1192 ‒ 504) = 284 284 = 284 |
|
3) (х ‒ 506) + 215 = 429 х ‒ 506 = 429 ‒ 215 х ‒ 506 = 214 х = 214 + 506 х = 720 (720 ‒ 506) + 215 = 429 429 = 429 |
9) 403 ‒ (634 ‒ а) = 366 634 ‒ а = 403 ‒ 366 634 ‒ а = 37 а = 634 ‒ 37 а = 597 403 ‒ (634 ‒ 597) = 366 366 = 366 |
|
4) (у ‒ 164) + 308 = 500 у ‒ 164 = 500 ‒ 308 у ‒ 164 = 192 у = 192 + 164 у = 356 (356 ‒ 164) + 308 = 500 500 = 500 |
10) 643 ‒ (581 ‒ Ь) = 292 581 ‒ Ь = 643 ‒ 292 581 ‒ Ь = 351 Ь = 581 ‒ 351 Ь = 230 643 ‒ (581 ‒ 230) = 292 292 = 292 |
|
5) (942 ‒ а) ‒ 126 = 254 942 ‒ а = 254 + 126 942 ‒ а = 380 а = 942 ‒ 380 а = 562 (942 ‒ 562) ‒ 126 = 254 254 = 254 |
11) 987 ‒ (х + 364) = 519 х + 364 = 987 ‒ 519 х + 364 = 468 х = 468 ‒ 364 х = 104 987 ‒ (104 + 364) = 519 519 = 519 |
|
6) (801 ‒ Ь) ‒ 224 = 368 801 ‒ Ь = 368 + 224 801 ‒ Ь = 592 Ь = 801 ‒ 592 Ь = 209 (801 ‒ 209) ‒ 224 = 368 368 = 368 |
12) 3128 ‒ (m + 425) = 1509 m + 425 = 3128 ‒ 1509 m + 425 = 1619 m = 1619 ‒ 425 m = 1194 3128 ‒ (1194 + 425) = 1509 1509 = 1509 |
Вправа 276
|
1) (39 + х) ‒ 84 = 78 39 + х = 78 + 84 39 + х = 162 х = 162 ‒ 39 х = 123 (39 + 123) ‒ 84 = 78 78 = 78 |
4) 253 ‒ (х ‒ 459) = 138 х ‒ 459 = 253 ‒ 138 х ‒ 459 = 115 х = 115 + 459 х = 574 253 ‒ (574 ‒ 459) = 138 138 = 138 |
|
2) (х ‒ 83) + 316 = 425 х ‒ 83 = 425 ‒ 316 х ‒ 83 = 109 х = 109 + 83 х = 192 (192 ‒ 83) + 316 = 425 425 = 425 |
5) 502 ‒ (217 ‒ х) = 421 217 ‒ х = 502 ‒ 421 217 ‒ х = 81 х = 217 ‒ 81 х = 136 502 ‒ (217 ‒ 136) = 421 421 = 421 |
|
3) (600 ‒ х) ‒ 92 = 126 600 ‒ х = 126 + 92 600 ‒ х = 218 х = 600 ‒ 218 х = 382 (600 ‒ 382) ‒ 92 = 126 126 = 126 |
6) 871 ‒ (х + 157) = 385 х + 157 = 871 ‒ 385 х + 157 = 486 х = 486 ‒ 157 х = 329 871 ‒ (329 + 157) = 385 385 = 385 |
Вправа 277 Розв’яжіть за допомогою рівняння задачу:
1) Оленка задумала число. Якщо до цього числа додати 43 і отриману суму відняти від числа 96, то одержимо 25. Яке число задумала Оленка?
Розв’язання.
Нехай х ‒ задумане число, тоді складемо рівняння
96 ‒ (х + 43) = 25
х + 43 = 96 ‒ 25
х + 43 = 71
х = 71 ‒ 43
х = 28 ‒ задумане число.
Відповідь: Оленка задумала число 28.
2) У Буратіно було 74 сольдо. Після того як він купив собі підручники для школи, тато Карло дав йому 25 сольдо. Тоді у Буратіно стало 68 сольдо. Скільки сольдо витратив Буратіно на підручники?
Розв’язання.
Нехай х (с.) ‒ сольдо витратив Буратіно на підручники, тоді складемо рівняння
(74 ‒ х) + 25 = 68
74 ‒ х = 68 ‒ 25
74 ‒ х = 43
х = 74 ‒ 43
х = 31 (с.) ‒ сольдо витратив.
Відповідь: Буратіно витратив на підручники 31 сольдо.
Вправа 278 Розв’яжіть за допомогою рівняння задачу.
1) Івасик задумав число. Якщо до цього числа додати 27 і від отриманої суми відняти 14, то одержимо число 36. Яке число задумав Івасик?
Розв’язання.
Нехай х ‒ задумане число, тоді складемо рівняння
(х + 27) ‒ 14 = 36
х + 27 = 36 + 14
х + 27 = 50
х = 50 ‒ 27
х = 23 ‒ задумане число.
Відповідь: Івасик задумав число 23.
2) Бабуся спекла 60 пиріжків. Частину пиріжків вона віддала сусідам, а 20 пиріжками пригостила онуків. Після цього в неї залишилось 28 пиріжків. Скільки пиріжків бабуся віддала сусідам?
Розв’язання.
Нехай х (п.) ‒ пиріжків бабуся віддала сусідам, тоді складемо рівняння
(60 ‒ х) ‒ 20 = 28
60 ‒ х = 28 + 20
60 ‒ х = 48
х = 60 ‒ 48
х = 12 (п.) ‒ пиріжків віддала сусідам.
Відповідь: бабуся віддала сусідам 12 пиріжків.
Вправа 279.** Яке число треба підставити замість а, щоб коренем рівняння:
| 1) (х + а) ‒ 7 = 42 було число 22 | 2) (а ‒ х) + 4 = 15 було число З |
|
Розв’язання. 1) (22 + а) ‒ 7 = 42 22 + а = 42 + 7 22 + а = 49 а = 49 ‒ 22 а = 27 |
Розв’язання. 2) (а ‒ 3) + 4 = 15 а ‒ 3 = 15 ‒ 4 а ‒ 3 = 11 а = 11 + 3 а = 14 |
Вправа 280.* Яке число треба підставити замість а, щоб коренем рівняння.
| 1) (х ‒ 7) + а = 23 було число 9 | 2) (11 + х) + 101 = а було число 5 |
|
Розв’язання. 1) (9 ‒ 7) + а = 23 2 + а = 23 а = 23 ‒ 2 а = 21 |
Розв’язання. 2) (11 + 5) + 101 = а а = 16 + 101 а = 117
|
Вправи для повторення
Вправа 281. Олеся була у школі з 8 год 15 хв до 15 год 20 хв. Увечері вона пішла на тренування, на якому була на 5 год 40 хв менше, ніж у школі. Скільки часу була Олеся на тренуванні?
Розв’язання.
1 спосіб.
|
1) _15 год 20 хв 8 год 15 хв 7 год 05 хв ‒ час у школі. |
|
1) 7 год 05 хв _6 год 65 хв 5 год 40 хв 1 год 25 хв ‒ час на тренуванні. |
2 спосіб.
15 год 20 хв ‒ 8 год 15 хв = (15 год ‒ 8 год) + (20 хв ‒ 15 хв) =
= 7 год 5 хв = 6 год 65 хв ‒ час у школі.
6 год 65 хв ‒ 5 год 40 хв = (6 год ‒ 5 год) + (65 хв ‒ 40 хв) = 1 год 25 хв ‒ час на тренуванні.
Відповідь: на тренуванні Олеся була 1 год 25 хв.
Пояснення: 7 год 5 хв = 7 год + 5 хв = (6 год + 1 год) + 5 хв =
= (6 год + 60 хв) + 5 хв = 6 год + (60 хв + 5 хв) = 6 год + 65 хв = 6 год 65 хв
Вправа 282. Накресліть у зошиті відрізок завдовжки 12 см. Над одним кінцем відрізка напишіть число 0, а над другим — 480. Поділіть відрізок на шість рівних частин. Позначте на утвореній шкалі числа 40, 280, 100, 360, 420.
Розв’язання.
480 : 12 = 40 - крок шкали, що відповідає 1 см.
Вправа 283. Мати дала Василькові 150 грн і доручила купити банани, мандарини й апельсини. Василько вирішив купити 3 кг бананів по 14 грн за 1 кг, 2 кг мандаринів по 17 грн і 4 кг апельсинів по 15 грн. Чи вистачить йому на це грошей? У разі позитивної відповіді вкажіть, скільки грошей у нього залишиться.
Розв’язання.
1) 14 • 3 = 42 (грн) ‒ заплатив за банани.
2) 17 • 2 = 34 (грн) ‒ заплатив за мандарини.
3) 15 • 4 = 60 (грн) ‒ заплатив за апельсини.
4) 42 + 34 + 60 = 136 (грн) ‒ заплатив за покупку.
136 < 150. Так, вистачить грошей на покупку.
5) 150 ‒ 136 = 14 (грн) ‒ решта.
Відповідь: у Василька залишиться 14 гривень.
Задача від Мудрої Сови
Вправа 284. У трьох ящичках лежать кульки: у першому ящичку — дві білі, у другому — дві чорні, у третьому — біла і чорна. На ящички наклеєно етикетки ББ, ЧЧ і БЧ так, що вміст кожного з них не відповідає етикетці. Як, вийнявши одну кульку, дізнатися, що в якому ящичку лежить?
Розв’язання.
Кульки 2Б (дві білі) ‒ ящик ЧЧ
Кульки БЧ (біла і чорна) ‒ ящик ББ
Кульки 2Ч (дві чорні) ‒ ящик БЧ
або
Кульки 2Б (дві білі) ‒ ящик БЧ
Кульки БЧ (біла і чорна) ‒ ящик ЧЧ
Кульки 2Ч (дві чорні) ‒ ящик ББ