Загрузка...

Інші завдання дивись тут ...

§ 24. Комбінаторні задачі

Розв'язуємо усно

Завдання 1. Одним шаром паперу оклеїли куб, ребро якого дорівнює 3 дм. Скільки квадратних дециметрів паперу витратили на оклеювання куба?

Розв’язання.

1) 3 • 3 = 9 (дм2) – площа грані куба.

2) 9 • 6 = 36 (дм2) – площа поверхні куба.

Відповідь: витратили 36 дм2 паперу.

 

Завдання 2. Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює 240 см3. Якою з даних трійок чисел можна задати виміри цього паралелепіпеда:

1) 4 см, 6 см, 12 см;          3) 3 см, 5 см, 10 см;

2) 5 см, 6 см, 8 см;            4) 10 см, 10 см, 24 см?

Розв’язання.

1 спосіб

1) 9 • 6 • 12  240

2) 5 • 6 • 8 = 240

2 спосіб

1) 240 : 4 : 6 ≠ 12

2) 240 : 5 : 6 = 8

Відповідь: 5 см, 6 см, 8 см - виміри паралелепіпеда об’ємом 240 см3

 

Завдання 3. Скільки центнерів пшениці можна засипати в бункер, який має форму прямокутного паралелепіпеда, якщо його довжина дорівнює 8 м, ширина — 2 м, висота — 1 м, а маса 1 м3 зерна становить 8 ц?

Розв’язання.

1) V = 8 м • 2 м • 1 м = 16 м3 – об’єм бункера.

2) 16 = 128 (ц) – пшениці можна засипати в бункер.

Відповідь: у бункер можна засипати 128 ц пшениці.

 

Завдання 4. Що більше і на скільки:

1) квадрат суми чисел 4 і 3 чи сума їх квадратів;

2) різниця квадратів чисел 10 і 8 чи квадрат їх різниці;

3) різниця кубів чисел 5 і 3 чи куб їх різниці?

Розв’язання.

1) (4 + 3)2 > 42 + 32бо (4 + 3)2 = 72 = 49, 42 + 32 = 16 + 9 = 25, а 49 > 25

2) 102 – 82 > (10 – 8)2 бо 102 – 82 = 100 – 64 = 36, (10 – 8)2 = 22 = 4, а 36 > 4 

3) 53 – 33 > (5 – 3)3, бо 53 – 33 = 125 – 27 = 98, (5 – 3)3 = 23 = 8, а 98 > 8

 

Вправи

Вправа 650.* Запишіть усі двоцифрові числа, у записі яких використовуються тільки цифри 1 , 2  і 3 (цифри в числі можуть повторюватися).

Розв’язання.

1 спосіб

 

1

2

3

1

11

12

13

2

21

22

23

3

31

32

33

2 спосіб

1) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 1 на першому місці.

                    1

          1        2       3

Маємо 3 комбінації: 11, 12, 13.

2) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 2 на першому місці.

                    2

          1        2       3

Маємо 3 комбінації: 21, 22, 23.

3) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 3 на першому місці.

                    3

          1        2       3

Маємо 3 комбінації: 31, 32, 33.

Відповідь: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33.

  

Вправа 651.’ Запишіть усі двоцифрові числа, у записі яких використовуються тільки цифри 1 , 2 і 0 (цифри в числі можуть повторюватися).

Розв’язання.

1 спосіб

 

0

1

2

0

 

 

 

1

10

11

12

2

20

21

22

2 спосіб

З цифрою 0 на першому місці не будемо мати трицифрових чисел.

1) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 1 на першому місці.

                    1

           0       1      2

Маємо 3 комбінації: 10, 11, 12.

2) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 2 на першому місці.

                    2

           0       1      2

Маємо 3 комбінації: 20, 21, 22.

Відповідь: 10, 11, 12, 20, 21, 22.

 

Вправа 652.* Віслюк Іа має три надувні кульки: червону, зелену та жовту. Він хоче подарувати по одній кульці своїм друзям: Вінні-Пуху, П’ятачку і Кролику. Скільки варіантів зробити подарунки своїм друзям є у віслюка Іа?

Розв’язання.

1 спосіб

Іа

П’ятачок

Кролик

Червона

Жовта

Зелена

Червона

Зелена

Жовта

Жовта

Червона

Зелена

Жовта

Зелена   

Червона

Зелена

Червона

Жовта

Зелена

Жовта

Червона

2 спосіб

Червона

Жовта

Зелена

Іа

П’ятачок

Кролик

Іа

Кролик

П’ятачок

П’ятачок

Іа

Кролик

П’ятачок

Кролик

Іа

Кролик

Іа

П’ятачок

Кролик

П’ятачок

Іа

Відповідь: шість варіантів зробити подарунки своїм друзям є у віслюка Іа.

 

Вправа 653.* Скільки двоцифрових чисел, усі цифри яких різні, можна записати за допомогою цифр 0, 1 і 2?

Розв’язання.

1 спосіб

 

0

1

2

0

 

 

 

1

10

 

12

2

20

21

 

2 спосіб

З цифрою 0 на першому місці не будемо мати трицифрових чисел.

1) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 1 на першому місці.

                    1

              0           2

Маємо 2 комбінації: 10, 12.

2) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 2 на першому місці.

                    2

              0           1

Маємо 2 комбінації: 20, 21.

Відповідь: 4 комбінації (10, 12, 20, 21).

 

Вправа 654.* У футбольному турнірі беруть участь команди 5-А класу, 5-Б класу і 5-В класу. Скільки існує способів розподілу першого і другого місць серед цих команд? Розв’язання якої із задач за номерами 650-653 аналогічне розв’язанню цієї задачі?

Розв’язання.

1 спосіб

1 місце

2 місце

5-А

5-Б

5-А

5-В

5-Б

5-А

5-Б

5-В

5-В

5-А

5-В

5-Б

2 спосіб.

5-А

5-Б

5-В

1 місце

2 місце

 

1 місце

 

2 місце

2 місце

1 місце

 

2 місце

 

1 місце

 

2 місце

1 місце

 

1 місце

2 місце

Відповідь: таких варіантів є шість; розв’язання аналогічне 652 задачі.

 

Вправа 655.* Запишіть усі трицифрові числа, для запису яких використовуються цифри:

1) 3, 4 і 6 (Цифри в числі не можуть повторюватися.)

Розв’язання.

1) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 3 на першому місці.

            3

     4             6

   6                4

Маємо 2 комбінації: 346, 364

2) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 4 на першому місці.

            4

     3             6

   6                3

Маємо 2 комбінації: 436, 463

3) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 6 на першому місці.

            6

     3            4

   4                 3

Маємо 2 комбінації: 634, 643

Відповідь: 346, 364, 436, 463, 634, 643

Запишіть усі трицифрові числа, для запису яких використовуються цифри:

2) 4, 7 і 0. (Цифри в числі не можуть повторюватися.)

Розв’язання.

1) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 4 на першому місці.

            4

     7             0

   0                 7

Маємо 2 комбінації: 470, 407

2) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 7 на першому місці.

            7

     4             0

   0                 4

Маємо 2 комбінації: 740, 704

З цифрою 0 на першому місці не будемо мати трицифрових чисел.

Відповідь: 470, 407, 740, 704

 

Вправа 656.* Скільки різних трицифрових чисел можна записати за допомогою цифр:

1) 1 і 2? (Цифри в числі можуть повторюватися.)

Розв’язання.

1) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 1 на першому місці.

         1

   1            2

 2   1       2    1

Маємо 3 комбінації, щоб наявні були дві цифри одночасно: 112, 122, 121

2) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 1 на першому місці.

         2

   1            2

 2   1       2   1

Маємо 3 комбінації, щоб наявні були дві цифри одночасно: 212, 211, 221

Відповідь: можна записати 6 трицифрових чисел (112, 122, 121, 212, 211, 221).

Скільки різних трицифрових чисел можна записати за допомогою цифр:

2) 0 і 1 ? (Цифри в числі можуть повторюватися.)

Розв’язання.

З цифрою 0 на першому місці не будемо мати трицифрових чисел.

1) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 1 на першому місці.

         1

    1          0

  0  1       1  0

Маємо 3 комбінації, щоб наявні були дві цифри одночасно: 110, 101, 100  

Відповідь: можна записати 3 трицифрові числа (110, 101, 100).

 

Вправа 657.* Запишіть усі двоцифрові числа, у записі яких використовуються тільки цифри 2, 4, 9 і 0. (Цифри в числі можуть повторюватися.)

Розв’язання.

З цифрою 0 на першому місці не будемо мати двоцифрових чисел.

1) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 2 на першому місці.

                         2

          2      4          0      9

Маємо  4 комбінації: 22, 24, 20, 29

2) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 4 на першому місці.

                         4

          2      4           0      9

Маємо  4 комбінації: 42, 44, 40, 49

3) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 9 на першому місці.

                         9

          2      4           0      9

Маємо  4 комбінації: 92, 94, 90, 99

Відповідь: 22, 24, 20, 29, 42, 44, 40, 49, 92, 94, 90, 99.

 

Вправа 658.* Скільки двоцифрових чисел можна записати за допомогою цифр 6, 7, 8 і 9 так, щоб цифри були записані в порядку зростання?

Розв’язання.

Цифри у двоцифровому числі не повинні повторюватися.

1) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 6 на першому місці.

          6

 7       8       9

Маємо 3 комбінації двоцифрових чисел у порядку зростання: 67, 68, 69

2) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 7 на першому місці.

          7

6         8      9

Маємо 2 комбінації двоцифрових чисел у порядку зростання: 78, 79.

3) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 8 на першому місці.

          8

6         7      9

Маємо 1 комбінацію двоцифрових чисел у порядку зростання: 89.

4) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 8 на першому місці.

          9

6         7      8

Нема комбінацій двоцифрових чисел у порядку зростання. 

Відповідь: 6 двоцифрових чисел (67, 68, 69, 78, 79, 89).

 

Вправа 659.* Скільки двоцифрових чисел можна записати за допомогою цифр 6, 7, 8 і 9 так, щоб цифри були записані в порядку спадання?

Розв’язання.

Цифри у двоцифровому числі не повинні повторюватися.

1) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 6 на першому місці.

                                                   6

                                     7            8             9

Нема комбінацій двоцифрових чисел у порядку спадання.

2) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 7 на першому місці.

                                                   7

                                     6            8             9

Маємо 1 комбінацію двоцифрових чисел у порядку спадання: 76.

3) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 8 на першому місці.

                                                   8

                                     6            7             9

Маємо 2 комбінації двоцифрових чисел у порядку спадання: 86, 87.

4) Побудуємо схему-дерево для усіх комбінацій з цифрою 9 на першому місці.

                                                   9

                                     6            7             8  

Маємо 3 комбінації двоцифрових чисел у порядку спадання: 96, 97, 98.

Відповідь: можна записати 6 двоцифрових чисел (76, 86, 87, 86, 87, 98).

 

Вправа 660.* Скільки існує двоцифрових чисел, сума цифр яких дорівнює 5?

Розв’язання.

50, 41, 32, 14, 23.

Відповідь: 5 двоцифрових чисел.

 

Вправа 661.* Скільки двоцифрових чисел, сума цифр яких дорівнює парному числу, можна скласти з цифр 1 , 2, З, 4 (цифри в числі можуть повторюватися)?

Розв’язання.

11, 13, 22, 24, 31, 33, 42, 44. 

Відповідь: 8 двоцифрових чисел.

 

Вправа 662.* Скільки двоцифрових чисел, сума цифр яких дорівнює непарному числу, можна скласти з цифр 0, 1 , 2, З?

Розв’язання.

10, 12, 21, 23, 30, 32.

Відповідь: 6 двоцифрових чисел.

 

Вправа 663.** Кіт Базиліо та лисиця Аліса вирішили вкрасти золотий ключик, який зберігається в комірці тата Карла. Щоб туди потрапити, слід підібрати двоцифровий код. Їм відомо, що двері в комірку зачиняє Буратіно, який знає поки що тільки чотири цифри: 0, 1, 2 і 3. Яку найбільшу кількість варіантів доведеться перебрати коту й лисиці, щоб відчинити двері?

Розв’язання.

00, 01, 02, 03, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 23, 30, 31, 32, 33.

Відповідь: 16 варіантів. 

 

Вправа 664.” Скільки існує різних прямокутників, периметри яких дорівнюють 24 см, а довжини сторін, виражені в сантиметрах, є натуральними числами?

Розв’язання.

24 : 2 = 12 (см) – півпериметр прямокутника.

12 = 1 + 11

12 = 2 + 10

12 = 3 + 9

12 = 4 + 8

12 = 5 + 7

12 = 6 + 6

Відповідь: існує 6 різник прямокутників: розмірами:

1 см х 11 см, 2 см х 10 см, 3 см х 9 см, 4 см х 8 см, 5 см х 7 см, 6 см х 6 см.

 

Вправа 665.** Ганнуся має З0 однакових кубиків. Скільки різних прямокутних паралелепіпедів вона може з них скласти, якщо для побудови одного паралелепіпеда треба використати всі наявні З0 кубиків?

Розв’язання.

30 = 1 • 1 • 30

30 = 1 • 2 • 15

30 = 1 • 3 • 10

30 = 1 • 6 • 5

30 = 2 • 3 • 5

Відповідь: можна скласти 5 прямокутних паралелепіпедів розмірами:

1 х 1 х 30, 1 х 2 х 15, 1 х 3 х 10, 1 х 6 х 5, 2 х 3 х 5 . 

 

Вправа 666.** На прямій позначили чотири точки: А, В, С і D. Скільки існує відрізків з кінцями в позначених точках? Який із рисунків п. 24 допомагає розв’язати цю задачу (рис. 182)?

Розв’язання.

АВ, АС, АD

ВС, ВD

СD

Відповідь: існує 6 відрізків.

 

Вправа 667.” Підніжжя гори та її вершину зв’язують три стежки. Скільки існує маршрутів, як і ведуть від підніжжя до вершини й потім униз до підніжжя?

Розв’язання.

              С1

 

    С2      С3      С4

 

С2С1С2,  С2С1С3,  С1С2С4

С3С1С2,  С3С1С3,  С3С1С4

С4С1С2,  С4С1С3,  С4С1С4

Відповідь: 9 маршрутів.

 

Вправа 668.” Команді пропонують футболки трьох кольорів: червоного, зеленого та синього, і шорти двох кольорів — білого та жовтого. Скільки варіантів вибрати форму є у команди?

Розв’язання.

Позначимо футболки: ч, з, с.

Позначимо шорти: б, ж.

чб, чж

зб, зж

сб, сж

Відповідь: 6 варіантів форми.

 

Вправа 669.’* Тетянка має чотири плаття та дві пари туфель. Скільки у Тетянки є варіантів вибрати наряд?

Розв’язання.

Позначимо плаття: п1, п2, п3,п4

Позначимо туфлі: т1, т2.

п1т1, п1т2

п2т1, п2т2

п3т1, п3т2

п4т1, п4т2

Відповідь: 8 варіантів нарядів. 

 

Вправа 670.“ У загоні космонавтів є три пілоти та два інженери. Скільки існує способів скласти екіпаж з одного пілота й одного інженера?

Розв’язання.

Позначимо пілотів: п1, п2, п3.

Позначимо інженерів: і1, і2.

п1і1, п1і2

п2і1, п2і2

п3і1, п3і2

Відповідь: 6 екіпажів.

 

Вправа 671.” На рисунку 183 зображено план одного району міста. Відрізками зображено вулиці. Скільки існує маршрутів з точки А в точку В , якщо пересуватися дозволено вулицями, що ведуть на північ або на схід?

Розв’язання.

Відповідь: існує 6 маршрутів

 

Вправа 672.” У записі 1 * 2 * 3 * 4 замість кожної зірочки можна поставити знак ≪+≫ або знак ≪•≫. Чому дорівнює найбільше значення виразу, який можна отримати?

Розв’язання.

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

 

1 + 2 + 3 + 4 = 10

1 + 2 + 3 • 4 = 15

1 + 2 • 3 • 4 = 25

1 • 2 • 3 • 4 = 24

1 • 2 + 3 + 4 = 9

1 • 2 • 3 + 4 = 10

1 • 2 + 3 • 4 = 14

1 + 2 • 3 + 4 = 11

Відповідь: найбільше значення - 25.

 

Вправи для повторення

Вправа 673. Відстань між двома селами дорівнює 28 км. Із цих сіл одночасно в одному напрямку виїхали мотоцикліст і автобус. Автобус їхав попереду зі швидкістю 42 км/год, а мотоцикліст їхав зі швидкістю 56 км/год. Через скільки годин після початку руху мотоцикліст наздогнав автобус?

Розв’язання.

          56 км/год                42 км/год

------------------------------> ------------------->

             28 км

1 спосіб

1) 56 – 42 = 14 (км/год) – швидкість зближення.

2) 28 : 14 = 2 (год) – час зустрічі.

2 спосіб

Нехай х (год) – час у дорозі, тоді 56х (км) – відстань автобуса, 42х (км) – відстань мотоцикліста. Складемо рівняння

56х – 42х = 28

14х = 28

х = 28 : 14

х = 2 (год) – час зустрічі.

Відповідь: мотоцикліст наздогнав автобус через 2 год після початку руху.

 

Вправа 674. Розв’яжіть рівняння.

1) 1376 : (34 – х) = 86

34 – х = 1376 : 86

34 – х = 16

х = 34 – 16

х = 18

2) 9680 : (х + 219) = 16

х + 219 = 9680 : 16

х + 219 = 605

х = 605 – 219

х = 386

3) (х – 57) : 29 = 205

х – 57 = 205 • 29

х – 57 = 5945

х = 5945 + 57

х = 6002

4) (х – 72) • 9 = 927

х – 72 = 927 : 9

х – 72 = (900 + 27) : 9

х – 72 = 103

х = 103 + 72

х = 175

 

Вправа 675. Один із доданків у 14 разів більший за другий. У скільки разів їх сума більша за менший із доданків?

Розв’язання.

1 спосіб

Якщо один доданок у 14 разів більший за інший доданок, то це означає, що на більший доданок припадає 14 частин, на менший доданок – 1 частина.

1) 14 + 1 = 15 (частин) – частин припадає на суму.

2) 15 : 1 = 15 (разів) – у стільки разів сума більша від меншого доданку.

2 спосіб

Нехай х – менший доданок, тоді 14х – більший доданок, 14х + х = 15х – сума.

15х : х = 15 (разів) – у стільки разів сума більша від меншого доданку.

Відповідь: сума у 15 разів більша від меншого доданку.

 

Вправа 676. Від’ємник у 12 разів більший за різницю. У скільки разів зменшуване більше за різницю?

Розв’язання.

1 спосіб

Нехай х – різниця, тоді 12х – від’ємник, 12х + х = 13х – зменшуване.

13х : х = 13 (разів) – у стільки разів зменшуване більше за різницю.

2 спосіб

Якщо від’ємник у 12 разів більший за різницю, це означає, що на від’ємник припадає 12 частин, на різницю 1 частина.

1) 12 + 1 = 13 (частин) – частин припадає на зменшуване.

2) 13 : 1 = 13 (разів) – у стільки разів зменшуване більше за різницю.

Відповідь: зменшуване у 13 разів більше за різницю. 

 

Вправа 677. Розгадайте кросворд: 

По горизонталі: 

1. Результат дії ділення (частка). 

2. Одиниця часу (секунда). 

3. Одиниця виміру кутів (градус).  

4. Компонент множення (множник). 

5. Компонент додавання (доданок).

По вертикалі: 6. Цариця наук (математика).

 

Задача від Мудрої Сови

Задача 678. У класі З0 учнів. Вони сидять по двоє за 15 партами так, що половина всіх дівчинок сидить з хлопчиками. Чи можна учнів класу пересадити так, щоб половина всіх хлопчиків сиділа з дівчинками?

Розв’язання.

Оскільки половина дівчаток сидить з хлопчиками, значить кількість дівчаток виражається парним числом. Інша половина дівчаток утворюють пару дівчинка-дівчинка, значить половина дівчаток теж виражається парним числом. Кількість дівчаток ділиться на 4. Щоб половина хлопчиків сиділа з дівчатками, кількість хлопців теж повинна ділитися на 4. Тоді кількість учнів має ділитися на 4. Оскільки кількість усіх дітей, виражена числом 30, не ділиться на 4 без остачі, отже, дітей пересадити таким чином неможливо.

 

Питання.

1. Які задачі називають комбінаторними? Комбінаторні задачі – задачі, розв’язання яких потребує розгляду та підрахунку всіх можливих випадків, або, як ще прийнято говорити, усіх можливих комбінацій. 

2. Як називають схему, за допомогою якої зручно та наочно розв'язувати комбінаторні задачі? Дерево.

Інші завдання дивись тут ...

Загрузка...