Інші завдання дивись тут... 

Завдання 112

Із двох міст, відстань між якими дорівнює 385 км, виїхали назустріч один одному легковий і вантажний автомобілі. Легковий автомобіль їхав зі швидкістю 80 км/год, а вантажний — 50 км/год. Скільки часу їхав до зустрічі кожен із них, якщо вантажний автомобіль виїхав на 4 год пізніше за легковий?

Розв'язання

Нехай у дорозі до зустрічі вантажний автомобіль був х год, а легковий автомобіль — (х + 4) год, тоді вантажний автомобіль проїхав — 50х км, а легковий — 80(х + 4) км. Складаємо рівняння:

50х + 80(х + 4) = 385

50х + 80х + 320 = 385

130х = 65

х = 0,5 (год) – був в дорозі до зустрічі вантажний автомобіль;

0,5 + 4 = 4,5 (год) – був в дорозі до зустрічі легковий автомобіль. 

Відповідь: 0,5 год проїхав до зустрічі вантажний автомобіль і 4,5 год легковий автомобіль.

 

Завдання 113

З одного села до другого вирушив пішохід зі швидкістю 4 км/год, а через 1,5 год після цього з другого села назустріч йому виїхав велосипедист зі швидкістю 16 км/год. Через скільки хвилин після виїзду велосипедист зустрівся з пішоходом, якщо відстань між селами дорівнює 14 км?

Розв'язання

Нехай до зустрічі велосипедист був у дорозі х год, тоді пішохід — (х + 1,5) год. Велосипедист проїхав 16х км, а пішохід пройшов 4(х + 1,5) км. Складаємо рівняння:

16х + 4(х + 1,5) = 14

16х + 4х + 6 = 14

20х = 8

х = 0,4 (год) = 24 (хв) – був в дорозі до зустрічі велосипедист.

0,4 год = 0,4 • 60 хв = 24 хв.

Відповідь: 24 хв.

 

Завдання 114

Відстань між двома містами річкою на 55 км менша, ніж по шосе. З одного міста до другого можна дістатися теплоходом за 6 год, а по шосе автобусом — за 3 год 30 хв. Знайдіть швидкості автобуса й теплохода, якщо швидкість теплохода на 30 км/год менша від швидкості автобуса.

Розв'язання

3 год 30 хв = 3,5 год

Нехай швидкість теплохода дорівнює х км/год, тоді швидкість автобуса — (х + 30) км/год. Теплохід подолав 6х км, а автобус — 3,5(х + 30) км. Складаємо рівняння:

3,5(х + 30) – 6х = 55

3,5х + 105 – 6х = 55

–2,5х = –50

х = 20 (км/год) – швидкість теплохода;

20 + 30 = 50 (км/год) – швидкість автобуса.

Відповідь: 20 км/год і 50 км/год.

 

Завдання 115

Теплохід пройшов 4 год за течією річки та 3 год проти течії. Шлях, який пройшов теплохід за течією, на 48 км більший за шлях, пройдений ним проти течії. Знайдіть швидкість теплохода в стоячій воді, якщо швидкість течії дорівнює 2,5 км/год.

Розв'язання

Нехай швидкість теплохода у стоячій воді дорівнює х км/год, тоді швидкість теплохода за течією дорівнює (х + 2,5) км/год, а проти течії — (х – 2,5) км/год. За течією теплохід подолав (х + 2,5) • 4 км, а проти течії — (х – 2,5) • 3 км. Складаємо рівняння:

(х + 2,5) • 4 – (х – 2,5) • 3 = 48

4х + 10 – Зх + 7,5 = 48

х + 17,5 = 48

х = 30,5

Відповідь: 30,5 км/год.

 

Завдання 116

Турист і туристка плили 5 год на плоту за течією річки та 1,5 год на моторному човні проти течії. Швидкість човна в стоячій воді дорівнює 24 км/год. Знайдіть швидкість течії, якщо проти течії турист і туристка проплили на 23 км більше, ніж за течією.

Розв'язання

Нехай швидкість течії річки дорівнює х км/год, тоді швидкість човна проти течії дорівнює (24 – х) км/год. На плоту турист подолав 5х км, а човном — (24 – х) • 1,5 км. Складаємо рівняння:

(24 – х) • 1,5 – 5х = 23

36 – 1,5х – 5х = 23

–6,5х = –13

х = 2

Відповідь: 2 км/год.

 

Завдання 117

Під час розселення туристів і туристок у намети виявилося, що коли в кожний намет поселити 6 осіб, то 5 людям місця не вистачить, а якщо розселяти по 7 осіб, то 6 місць залишаться вільними. Скільки було туристів і туристок?

Розв'язання

 

Завдання 118

Під час підготовки новорічних подарунків для учнів і учениць 7 класу виявилося, що коли в кожний подарунок покласти по 4 апельсини, то не вистачить 3 апельсинів, а коли покласти по 3 апельсини, то залишаться зайвими 25 апельсинів. Скільки було апельсинів?

Розв'язання

Нехай було х подарунків. Тоді при розкладанні по 4 штуки у подарунок буде (4х – 3) апельсинів, а при розкладанні по 3 штуки — (3х + 25) апельсинів. Складаємо рівняння:

4х – 3 = 3х + 25

4х – 3х = 25 + 3

х = 28 (п.) – було подарунків;

4 • 28 – 3 = 109 (ап.) – було апельсинів.

Відповідь: 109 апельсинів.

 

Завдання 119

У двох ящиках було 55 кг печива. Коли з першого ящика переклали в другий 1/3 маси печива, яке в ньому містилося, то в першому ящику залишилося на 5 кг більше печива, ніж стало в другому. Скільки кілограмів печива було в кожному ящику спочатку?

Розв'язання

Нехай спочатку печива в першому ящику було х кг, тоді у другому — (55 – х) кг. Після того як з першого ящика переклали третю частину печива у другий, там залишилося (х – 1/3х) = 2/3х кг, а в другому ящику стало (55 – х + 1/3х) = (55 – 2/3х) кг. Складаємо рівняння:

2/3х = 55 – 2/3х + 5 • 3

2х = 165 – 2х+ 15

4х = 180

х = 45 (кг) – було спочатку в першому ящику;

55 – 45 = 10 (кг) – було спочатку в другому ящику.

Відповідь: 45 кг і 10 кг.

 

Завдання 120

У двох кошиках було 24 кг груш. Коли з одного кошика переклали в другий 3/7 маси груш, які були в першому, то маса груш у другому кошику стала вдвічі більшою за масу груш, що залишилися в першому. Скільки кілограмів груш було в кожному кошику спочатку?

Розв'язання

Нехай спочатку груш у першому кошику було х кг, тоді у другому — (24 – х) кг. Після того як з першого кошика переклали 3/7 частин груш у другий, там залишилося х – 3/7х = 4/7х кг, а у другому кошику стало 24 – х + 3/7х = 24 – 4/7х кг. Складаємо рівняння:

2 • 4/7х = 24 – 4/7х     │•7

8х = 168 – 4х

12х = 168 

х = 14 (кг) – було спочатку груш в першому кошику;

24 – 14 = 10 (кг) – було спочатку груш в другому кошику.

Відповідь: 14 кг і 10 кг.

 

Завдання 121

На трьох полицях стояли книжки. На першій полиці стояло 4/15 усіх книжок, на другій — 60 % усіх книжок, а на третій — на 8 книжок менше, ніж на першій. Скільки всього книжок стояло на трьох полицях?

Розв'язання

Нехай на трьох полицях було х книжок, тоді на першій полиці було 4/15 х книжок, на другій — 0,6х книжок, а на третій — (х – 4/15 х – 0,6 х) = 2/15 х книжок. Складаємо рівняння:

4/15 x – 2/15 х= 8

2/15 х = 8

х = 8 : 2/15

х = 8 • 15/2

х = 60

Відповідь: 60 книжок.

 

Завдання 122

У чотири бідони розлили молоко. У перший бідон налили 30 % усього молока, у другий — 5/6 того, що в перший, у третій — на 26 л менше, ніж у перший, а в четвертий — на 10 л більше, ніж у другий. Скільки літрів молока розлили в чотири бідони?

Розв'язання

Нехай у чотирьох бідонах було х л молока. Тоді у першому бідоні було 0,3х л, у другому — (5/6 • 0,3х) = 0,25х л, у третьому — (0,3х – 26) л, а в четвертому — (0,25х + 10) л. Складаємо рівняння:

0,3х + 0,25х + 0,3х – 26 + 0,25х + 10 = х

1,1х – 16 = х

0,1х = 16

х = 160

Відповідь: 160 л.

 

Завдання 123

Робітниця планувала щодня виготовляти по 20 деталей, щоб вчасно виконати виробниче завдання. Проте щодня вона виготовляла на 8 деталей більше, ніж планувала, і вже за 2 дні до кінця терміну роботи виготовила 8 деталей понад план. Скільки днів за планом робітниця мала виконувати завдання?

Розв'язання

Нехай робітниця планувала працювати над завданням х днів, тоді вона мала виготовити 20х деталей. Насправді робітниця працювала (х – 2) дні і виготовила (20 + 8)(х – 2) = 28(х – 2) деталей. Складаємо рівняння:

28(х – 2) – 20х = 8

28х – 56 – 20х = 8

8х = 64

х = 64 : 8

х = 8

Відповідь: 8 днів.

 

Завдання 124

Готуючись до екзамену, Олеся планувала щодня розв’язувати 10 задач. Оскільки вона щодня розв’язувала на 4 задачі більше, то вже за 3 дні до екзамену їй залишилося розв’язати 2 задачі. Скільки всього задач планувала розв’язати Олеся?

Розв'язання

Нехай до екзамену Олесі залишилося х днів, тоді вона мала розв’язати 10х задач. Насправді за 3 дні до екзамену вона розв’язала (10 + 4)(х – 3) = 14(х – 3) задач. Складаємо рівняння:

10х – 14(х – 3) = 2

10х – 14х + 42 = 2

–4х = –40

х = 10 (дн.) – залишилося днів;

10 • 10 = 100 (з.) – планувала розв'язати задач.

Відповідь: 100 задач.

 

Завдання 125

У двоцифровому числі кількість десятків у 3 рази більша за кількість одиниць. Якщо цифри числа переставити, то отримане число буде на 54 меншим від даного. Знайдіть дане двоцифрове число.

Розв'язання

Нехай у двоцифровому числі х одиниць, тоді десятків 3х і число дорівнює: Зх • 10 + х. У числі з переставленими цифрами буде х десятків, Зх одиниць і число дорівнює: х • 10 + Зх. Складаємо рівняння:

Зх • 10 + х – (х • 10 + Зх) = 54

З0х + х – 10х – Зх = 54

18х = 54

х = 3 – число одиниць; З • 3 = 9 – число десятків, тому шукане число 93.

Відповідь: 93.

 

Завдання 126

У двоцифровому числі кількість десятків на 2 менша від кількості одиниць. Якщо цифри числа переставити, то отримане число буде в 1 3/4 раза більшим за дане. Знайдіть дане двоцифрове число.

Розв'язання

Нехай у двоцифровому числі х одиниць, тоді десятків (х – 2) і число дорівнює: (х – 2) • 10 + х. У числі з переставленими цифрами буде х десятків, (х – 2) одиниць і число дорівнює: х • 10 + (х – 2). Складаємо рівняння:

х • 10 + (х – 2) = 1 3/4((х – 2) • 10 + х)

10х + х – 2 = 7/4(10х – 20 + х)

11х – 2 = 7/4(11х – 20)    |• 4

4(11х – 2) = 7(11х – 20)

44х – 8 = 77х – 140

77х – 44х = 140 – 8

33х = 132

х = 4 – число одиниць; 4 – 2 = 2 – число десятків,  тому шукане число 24.

Відповідь: 24.

 

Завдання 127

Із двох міст, відстань між якими дорівнює 270 км, виїхали одночасно назустріч один одному два автомобілі. Через 2 год після початку руху відстань між ними становила 30 км. Знайдіть швидкість кожного автомобіля, якщо швидкість одного з них на 10 км/год більша за швидкість другого.

Розв'язання

Нехай швидкість першого автомобіля дорівнює х км/год, тоді швидкість другого — (х – 10) км/год. Перший автомобіль подолав за 2 год 2х км, а другий — 2(х – 10) км. Складаємо рівняння:

2х + 2(х – 10) = 270 – 30

2х + 2х – 20 = 240

4х = 260

х = 65 (км/год) – швидкість першого автомобіля;

65 – 10 = 55 (км/год) – швидкість другого автомобіля. 

Відповідь: 65 км/год і 55 км/год.

 

Завдання 128

Компанія складається із 7 осіб. Чи може кожна особа компанії дружити:

1) рівно з чотирма особами;

Так, може. Припустимо, що така схема є можливою. Підрахуємо, скільки відрізків буде на цій схемі. Маємо: 7 • 4 =28 (відрізків). Проте при такому підрахунку кожний відрізок було враховано двічі. Отримуємо, що кількість відрізків дорівнює 28 : 2 = 14. Це число ціле, отже, бути це може.

2) рівно з п’ятьма особами?

Ні, не може. Припустимо, що така схема є можливою. Підрахуємо, скільки відрізків буде на цій схемі. Маємо: 7 • 5 = 35 (відрізків). Проте при такому підрахунку кожний відрізок було враховано двічі. Отримуємо, що кількість відрізків дорівнює 35 : 2 = 17 (ост. 1). Це число не ціле. Отримали суперечність.

 

Завдання 129

Маємо два сплави міді й цинку. Перший сплав містить 9 % цинку, а другий — 30 %. Скільки кілограмів кожного сплаву треба взяти, щоб отримати зливок сплаву масою 300 кг, який містить 23 % цинку?

Розв'язання

Нехай першого сплаву потрібно взяти х кг, тоді другого сплаву — (300 – х) кг. У х кг першого сплаву міститься 0,09х кг цинку, а в (300 – х) кг другого сплаву — 0,3(300 – х) кг. Складаємо рівняння:

0,09х + 0,3(300 – х) = 0,23 • 300

0,09х + 90 – 0,3х = 69

–0,21х = –21

х = 100 (кг) – потрібно взяти першого сплаву;

300 – 100 = 200 (кг) – потрібно взяти другого сплаву.

Відповідь: 100 кг і 200 кг.

 

Завдання 130

Маємо два водно–сольових розчини. Перший розчин містить 25 % солі, а другий — 40 %. Скільки кілограмів кожного розчину треба взяти, щоб отримати розчин масою 50 кг, який містить 34 % солі?

Розв'язання

Нехай першого розчину потрібно взяти х кг, тоді другого розчину — (50 – х) кг. У х кг першого розчину міститься 0,25х кг солі, а в (50 – х) кг другого— 0,4(50 – х) кг. Складаємо рівняння:

0,25х + 0,4(50 – х) = 0,34 • 50

0,25х + 20 – 0,4х = 17

–0,15х = –3

х = 20 – потрібно взяти першого розчину;

50 – 20 = 30 (кг) – потрібно взяти другого розчину.

Відповідь: 20 кг і 30 кг.

 

Завдання 131

У регіоні країни є 8 міст. Чи можна стверджувати, що з будь–якого міста можна проїхати в будь-яке інше місто, якщо з кожного міста виходить:

1) не менше від трьох доріг;

Ні, бо можливий варіант двох окремих прямокутників разом з діагоналями (8 вершин) і з кожної виходить 3 ребра, але між собою прямокутники не з'єднані.

2) чотири дороги?

Так. Припустимо, що з міста А неможливо проїхати в місто В. Кожне з них сполучене з чотирма іншими містами. Серед цих двох четвірок міст немає спільних. Отже, у регіоні не менше ніж десять міст.

 

Завдання 132

1) – 9,6 : 12 – 29 : (–5,8) + 4 : (–25) = –0,8 + 5 – 0,16 = 4,04

2) –3,4 • (4 – 4,6) + 12,4 • (–0,8 – 2,2) = –3,4 • (–0,6) + 12,4 • (–3) = 2,04 – 37,2 =

= –35,16

3) (0,4 – 3/20) • 6 2/3 – 1,75 : (–7 7/8) = (0,4 – 0,15) • 6 2/3 + 1 3/4 : 7 7/8 =

= 0,25 • 20/3 + 7/4 : 63/8 = 1/4 • 20/3 + 7/4 • 8/63 = 5/3 + 2/9 = 15/9 + 2/9 = 17/9 = 1 8/9

4) (6,3 : (–9/20) – 2,6 : (–1/20)) • (–4/19) – 0,6 : (–0,36) =

= (6,3 • (–20/9) – 2,6 • (–20)) • (–4/19) + 6/10 • 100/36 (–14 + 52) • (–4/19) + 5/3 =

= 38 • (–4/19) + 5/3 = –8 + 12/3 = –6 1/3

 

Завдання 133 Вирази

1) Якщо х = 4, тоді 14 – 6х = 14 – 6 • 4 = 14 – 24 = –10

Якщо х = –2, тоді 14 – 6х = 14 – 6 • (–2) = 14 + 12 = 26

Якщо х = 0, тоді 14 – 6x = 14 – 6 • 0 = 14 – 0 = 14

Якщо х = –0,3, тоді 14 – 6х = 14 – 6 – (–0,3) = 14 + 1,8 = 15,8

Якщо х = 3/8, тоді 14 – 6х = 14 – 6 • 3/8 = 14 – 9/4 = 14 – 2,25 = 11,75

2) Якщо а = 7, тоді а² + 3 = 7² + 3 = 49 + 3 = 52

Якщо а = –2, тоді а² + 3 = (–2)² + 3 = 4 + 3 = 7

Якщо а = 0, тоді а² + 3 = 0² + 3 = 0 + 3 = 3

Якщо а = 0,4, тоді а² + 3 = 0,4² + 3 = 0,16 + 3 = 3,16

Якщо а = –1 1/3,тоді а² + 3 = (–1 1/3)² + 3 = (4/3)² + 3 = 16/9 + 3 = 1 7/9 + 3 = 4 7/9

3) якщо m = 0,2; n = –0,6, тоді (2m – 1)n = (2 • 0,2 – 1) • (–0,6) = (0,4 – 1) • (–0,6) =

= –0,6 • (–0,6) = 0,36

 

Завдання 134

x	–4	–3	–2	–1	0	1	2	3	4
–3x + 2	14	11	8	5	2	–1	–4	–7	–10

Завдання 135 Ознаки подільності чисел

Яку цифру треба дописати ліворуч і праворуч до числа 37, щоб отримане число ділилося націло на 6?

Розв'язання

Відповідь: 4.

 

Завдання 136 Корені рівняння

1) Рівняння х² = 0, х = 0

2) рівняння х² = –1, не має коренів, бо квадрат числа не може дорівнювати від’ємному числу

3) рівняння |х| = х, коренем є будь–яке невід’ємне число

4) рівняння |х| = –х, коренем є будь-яке недодатне число

 

Завдання 137

Чи може бути цілим числом значення виразу:

1) Значення виразу 1/x може бути цілим числом, наприклад, якщо х = 1, х = –1

2) значення виразу x/(x + 1) може бути цілим числом, наприклад, якщо х = 0, х = –2

 

Завдання 138

Знайдіть усі натуральні значення n, при яких значення кожного з виразів n – 2, n + 24, n + 26 є простим числом.

Усі натуральні числа можна поділити на три групи за їх остачами від ділення на 3:

n = 3k – 2; n = 3k – 1; n = 3k, де n — будь–яке натуральне число.

1. Нехай n = Зk – 2, тоді n + 26 = 3k – 2 + 26 = 3k + 24 = 3(k + 8) — складене число.

Отже група чисел виду n = 3k – 2 не містить шуканого числа.

2. Нехай n = 3k – 1, тоді n – 2 = 3k – 1 – 2 = 3k – 3 = 3(k – 1). Число 3(k – 1) для усіх значень k > 2 є складеним.

Якщо k = 1, то число n – 2 = 3(k – 1) = 0 і не є натуральним числом.

Якщо k = 2, то число n – 2 = 3(2 – 1) = 3 і n = 3 + 2 = 5 є простим числом.

Якщо k = 5, то значення виразів n + 24 і n + 26 відповідно дорівнюють 29 і 31 і є простими числами.

Отже, група чисел виду n = 3k – 1 містить одне шукане число — число 5.

3. Нехай n = 3k, тоді n + 24 = Зk + 24 = 3(k + 8) — складене число.

Отже, група чисел виду n = 3k не містить шуканого числа.

Відповідь: n = 5.

Інші завдання дивись тут...