Інші завдання дивись тут...

Завдання 1020 Чи є число 4 спільним дільником чисел:

1) 8 і 12; Так
8 : 4 = 2; 12 : 4 = 3
2) 9 і 16; Ні
3) 20 і 24; Так
20 : 4 = 5; 24 : 4 = 6
4) 28 і 31? Ні
Завдання 1021 

Знайди спільні дільники та найбільший спільний дільник:

1) чисел 2 і 4;

Дільники 2: 1, 2Дільники 4: 1, 2 4. Спільні дільники 1 і 2. 

НСД(2;4) = • 2 = 2

2) чисел 6 і 15; 

Дільники 6: 1, 2, 3, 6. Дільники 15: 1, 3, 5, 15. Спільні дільники 1 і 3. 

НСД(6;15) = • 3 = 3

3) чисел 8 і 18.

Дільники 8: 1, 2, 4, 8. Дільники 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Спільні дільники 1 і 2. 

НСД(8;18) = • 2 = 2

 

Завдання 1022

Знайди найбільший спільний дільник чисел a і b, якщо:

1) a = 2 • 3 • 5 • 7 • 17; 

   b = 2  5 • 13

НСД(a;b) = • 5 = 10

2) a = 2 • 3 • 3 • 5 • 19; 

    b = 3  3 • 11; 

НСД(a;b) = • 3 = 9

Завдання 1021 

2) a = 2 • 33 • 5 • 19, b = 33 • 11; НСД(a;b) = • 3 =   

 

Завдання 1023

1) c = 3 • 3 • 7 • 11, d = 37 • 13; НСД(c;d) = • 7 = 21 

2) c = 2 • 3 • 5 • 17, d = 25 • 19 • 23. НСД(c;d) = • 5 = 10 

 

Завдання 1024 Чи є взаємно простими числа:

1) 7 і 14; Ні, бо в розкладі на прості множники 7 = 7 і 14 = 2 • 7 є спільний дільник 7.

2) 9 і 8; Так, бо в розкладі на прості множники 9 = 3 • 3 і 8 = 2 • 2 • 2, немає спільних дільників, тому НСД(9;8)=1.

3) 12 і 16; Ні, бо є парними, а значить діляться на 2, тобто мають спільний дільник 2.

4) 5 і 11? Так, бо в розкладі на прості множники 5 = 5, 11 = 11 немає спільних дільників, тому НСД(5;11)=1

 

Завдання 1025

Із чисел 3, 7, 15 і 28 склади всі можливі пари взаємно простих чисел. 

3 і 7 взаємно прості, бо 3 = 3 і 7 = 7, немає спільних дільників, НСД(3;7)=1

3 і 15 не взаємно прості, бо 3 = 3 і 15 = 3 • 5, спільний дільник 3

3 і 28 взаємно прості, бо 3 = 3 і 28 = 2 • 2 • 7, немає спільних дільників, НСД(3;28)=1

7 і 15 взаємно прості, бо 7 = 7 і 15 = 3 • 5, немає спільних дільників, НСД(7;15)=1

7 і 28 не є взаємно прості, бо 7 = 7 і 28 = 2 • 2 7, спільний дільник 7

15 і 28 є взаємно прості, бо 15 = 3 • 5 і 28 = 2 • 2 • 7, немає спільних дільників, НСД(15;28)=1

Відповідь: 3 і 7; 3 і 28; 7 і 15; 15 і 28.

 

Завдання 1026 Знайди найбільший спільний дільник чисел.

1) 78 = 2 3 13 
   195 3 13
   НСД (78;195) = • 13 = 39
2) 35 = • 7
   18 = • 3 • 3
   НСД (35;18) = 1
3) 210 2 • 5 3 • 7
   120 = 2 • • 2 5 3
   НСД (35;18) • 5 • 3= 30

78|2

39|3

13|13

 1|

195|5

 39|3

 13|13

  1|

18|2

 9|3

 3|3

 1|

210|2

105|5

 21|3

  7|7

  1|

120|2

 60|2

 30|2

 15|5

  3|3

  1|

 

4) 735 = 3 5 7 • 7
   70 = 2 • 5 7
   НСД (735;70) = 5 • 7 = 35
5) 4 = 2 2
   24 = 2 2 • 2 • 3
   НСД (4;24) = 2 • 2 = 4
6) 36 = 2 • 2 3 • 3
   54 = 2 3 3 • 3
   72 = 2 • 2 • 2 3 3
   НСД (36;54;72) = 2 • 3 • 3 = 18

735|3

245|5

 49|7

  7|7

  1|

70|2

35|5

 7|7

 1|

24|2

12|2

 6|2

 3|3 

 1| 

36|2

18|2

 9|3

 3|3

 1|

54|2

27|3

 9|3

 3|3

 1|

72|2

36|2

18|2

 9|3

 3|3

 1|

Завдання 1027

1) 24 = 2 • 2 • 2 • 3
   40 2 • 2 • 2 • 5
   НСД (24;40) = • 2 • 2 = 8
2) 70 2 • 5 • 7
   110 2 • 5 • 11
   НСД (70;110) • 5 10
3) 49 • 7
   48 • • 2 • 2 • 3
   НСД (49;48) = 1

 

4) 231 3 • 7 • 11
   273 3 • 7 • 13
   НСД (231;273) • 7 21
5) 5 5
   25 5 • 5
   45 5 • 3 • 3
   НСД (5;25;45) = 5
6) 150 = 2 • 3 • 5 • 5
   375 3 • 5 • 5 • 5
   600 = 2 • 2 • 2 • 3 • 5 • 5
   НСД (150;375;600) = 3 • 5 • 5 = 75

24|2

12|2

 6|2

 3|3

 1|

40|2

20|2

10|2

 5|5

 1|

70|2

35|5

 7|7

 1|

110|2

 55|5

 11|11

  1|

48|2

24|2

12|2

 6|2

 3|3 

 1|

231|3

 77|7

 11|11

  1|

273|3

 91|7

 13|13

  1|

45|5

 9|3

 3|3

 1|

150|2

 75|3

 25|5

  5|5

  1|

375|2

125|5

 25|5

  5|5

  1|

600|2

300|2

150|2

 75|3

 25|5

  5|5

  1|

Завдання 1028 Запиши три числа, які з числом 12:

1) є взаємно простими; 5, 7, 11

Оскільки 12 • 3, тоді інші три числа не можуть мати дільники 2, 3, 4, 6, 12, щоб вони не були спільними, отже, такими числами можуть бути числа 5, 7 і 11. 

2) не є взаємно простими. 2, 4, 24

Оскільки 12 • • 3, тоді інші три числа можуть мати дільники 2, 3, 4, 6, 12, щоб вони були спільними, отже, такими числами можуть бути числа 2, 4 і 24. 

 

Завдання 1029 Запиши чотири числа, які з числом 15:

1) є взаємно простими; 2, 7, 11, 13

Оскільки 15 • 5, тоді інші чотири числа не можуть мати дільники 3, 5 і 15, щоб вони не були спільними, отже, такими числами можуть бути числа 2, 7, 11 і 13. 

2) не є взаємно простими. 3, 5, 30, 45

Оскільки 15 • 5, тоді інші чотири числа можуть мати дільники 3, 5 і 15, щоб вони були спільними, отже, такими числами можуть бути числа 3, 5, 30 і 45.

    

Завдання 1030 Доведи, що числа:

1) 55 і 42 взаємно прості;
Оскільки у розкладі на прості множники:
55 = 5 • 11 і 42 = 2 • 3 числа не мають спільних
дільників, тому НСД(55;42) = 1, отже, 55 і 42 є взаємно прості.

55|5 

11|11

 1|

42|2

21|3

 7|7

 1|

2) 325 і 462 є взаємно прості.

 

 

Оскільки у розкладі на прості множники:

325 = 5 • 5 • 13 і 462 = 2 • 3 • 7 • 11 числа не мають спільних

дільників, тому НСД(325;462) = 1, отже, 325 і 402 є взаємно прості.

325|5

 65|5

 13|13 

  1|

462|2

231|3

 77|7

 11|11

  1|

Завдання 1031 Доведи, що числа:

1) 140 і 546 не взаємно прості: 
Оскільки числа є парні, значить діляться на 2, тому мають спільний дільник 2,
отже, 140 і 546 не є взаємно прості.
2) 78 і 385 взаємно прості:

 

 

Оскільки в розкладі на прості множники:
78 = 2 • 3 • 13 і 385 = 5 • 7 • 11 числа не мають спільних
дільників, тому НСД(78;385) = 1, отже, 78 і 546 є взаємно прості.

78|2

39|3

13|13

  1|

385|5

 77|7

 11|11

  1|

Завдання 1032 

Чи є взаємно простими числа:

1) 3 і 100; 

Так, оскільки 3  просте число, а 100  не ділиться на 3, тому НСД(3;100) = 1.

2) 35 і 133; 

Ні, оскільки в розкладі на прості множники 35 = 5 • 7 і 133 = 7 • 19 спільний дільник 7.

3) 143 і 209;

Ні, оскільки в розкладі на прості множники 143 = 11 • 13 і 209 = 11 • 19 спільний дільник 11.

4) 2010 і 2012. 

Ні, числа 2010 і 2012 є парними, значить діляться на 2, тому мають спільний дільник 2.

 

Завдання 1033 Ознаки подільності чисел 

Чи є взаємно простими числа:

1) 7 і 48; 

Так, оскільки 7  просте число, а 48  не ділиться на 7, тому НСД(7;48)=1.

2) 21 і 161; 

Ні, оскільки в розкладі на прості множники 21 = 3 7 і 161 = 7 • 23, спільний дільник 7.

3) 66 і 455; 

Так, оскільки в розкладі на прості множники 66 = 2 • 3 • 11 і 455 = 5 • 7 • 13, немає спільних дільників, тому НСД(66;455)=1.

4) 2005 і 3005. 

Ні, числа 2005 і 3005 закінчуються цифрою 5, значить діляться на 5, тому мають спільний дільник 5.

 

Завдання 1034

Яку найбільшу кількість однакових подарунків можна скласти з 72 цукерок «Волошка» і 60 цуке­рок «Троянда», використавши всі цукерки?

Кожне з чисел 72 і 60 має ділитися на кількість подарунків.
Запишемо розклад чисел на прості множники.
72 = 2 • 2 • 2 3 • 3 і 60 = 2 • 3 2 • 5
Знайдемо найбільший спільний дільник.
НСД(72;60) = 2 • 2 • 3 = 12, отже, найбільше можна
скласти 12 подарунків.
Відповідь: 12 подарунків.

72|2

36|2

18|2

 9|3

 3|3

 1|

60|2

30|3

10|2

 5|5

 1|

Завдання 1035

У яку найбільшу кількість шкіл можна порівну роз­поділити усі 108 запрошень на святковий концерт та усі 120 запрошень на виставку, що проходитимуть під час святкування Дня міста? По скільки запро­шень кожного виду отримають ці школи?

Розв'язання

Кожне з чисел 108 і 120 має ділитися на кількість шкіл.
Запишемо розклад чисел на прості множники:
108 = 2 2 • 3 • 3 • 3 і 120 2 2 • 2 • 5 3
Знайдемо найбільший спільний дільник.
НСД (108;120) = 2 • 2 • 3 = 12, отже,
найбільша кількість 12 шкіл.
1) 108 : 12 = 9 (шт.)  запрошень на виставу;
2) 120 : 12 = 10 (шт.)  запрошень на День міста.
Відповідь: 12 шкіл; у кожну школу 9 запрошень на виставу
і 10 запрошень на День міста.

108|2

 54|2

 27|3

  9|3

  3|3

  1|

120|2

 60|2

 30|2

 15|5

  3|3

  1|

Завдання  1036

У п'ятих класах 24 хлопці і 36 дівчат. Їх поділи­ли на групи для вивчення іноземних мов так, щоб у кожній групі була однакова кількість дівчат і хлопців. На скільки груп поділили п'ятикласни­ків, якщо груп більше ніж 7?

Розв'язання

Кожне з чисел 24 і 36 має ділитися на кількість груп.
Запишемо розклад чисел на прості множники:
24 = 2 • 2 • 2 • 3 і 36 = 2 • 2 • 3 • 3
Числа 24 і 36 діляться на 1, прості числа 2 і 3, та
всі можливі добутки, а саме:
по два: 2 • 2 = 4, 2 • 3 = 6;
по три : 2 •  3 = 12.
Спільні дільники чисел 24 і 36: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Оскільки кількість груп більша за 7, то їх 12.
Відповідь: 12 груп.

24|2

12|2

 6|2

 3|3

 1|

36|2

18|2

 9|3

 3|3

  1|

Завдання  1037

В одному поїзді 252 купейних місця, а в іншому — 396 купейних місць. По скільки купейних вагонів у кожному поїзді, якщо в усіх купейних вагонах кількість місць однакова і більша за 20?

Розв'язання

Кожне з чисел 252 і 396 має ділитися на кількість
купейних місць в одному вагоні.
Запишемо розклад чисел на прості множники:
252 = 2 • 2 • 3 3 • 7 і 396 = 2 • 2 3 3 • 11
Числа 252 і 396 діляться на 1, прості числа 2 і 3, та
всі можливі добутки, а саме:
по два: 2 • 2 = 4, 2 • 3 = 6, 3 • = 9;
по три: 2 • • 3 = 12, 2 • • 3 = 18;
по чотири: 2 • 2 • • = 36.
Спільні дільники чисел 252 і 396: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Оскільки кількість місць більша за 20, то у вагоні 36 місць.
1) 252 : 36 = 7 (в.)  купейних вагонів в одному поїзді;
3) 396 : 36 = 11 (в.)  купейних вагонів в іншому поїзді.
Відповідь: 7 вагонів; 11 вагонів.

252|2

126|2

 63|3

 21|3

  7|7

  1|

396|2

198|2

 99|3

 33|3

 11|11

  1|

Завдання  1038

Із 210 білих, 150 жовтих і 90 червоних троянд треба скласти однакові букети так, щоб у кожно­му букеті були троянди всіх трьох кольорів. Яку найбільшу кількість таких букетів можна скласти? Скільки троянд кожного кольору буде в кожному букеті?

Розв'язання

Кожне з чисел 210, 150 і 90 має ділитися на кількість букетів.
Запишемо розклад чисел на прості множники:
210 = 2 5  3 • 7; 150 2 5 • 3 • 5 і 90 = 3 3 2 5
Знайдемо найбільший спільний дільник.
НСД(210;150;90) = 2 • 3 • 5 = 30, отже,
найбільша кількість 30 букетів;
1) 210 : 30 = 7 (кв.)  у букеті білих троянд;
2) 150 : 30 = 5 (кв.)  у букеті жовтих троянд;
3) 90 : 30 = 3 (кв.)  у букеті червоних троянд.
Відповідь: 30 букетів; у букеті 7 білих, 5 жовтих і 3 червоні трянди.

210|2

105|5

 21|3

  7|7

  1|

150|2

 75|5

 15|3

  5|5

  1|

90|3

30|3

10|2

 5|5

  1|

Завдання  1039

Для студентського гуртожитку придбали 108 на­стільних ламп та 144 стільці, які розподілили порів­ну по всіх кімнатах. Скільки кімнат у гуртожитку, якщо їх більше ніж 14, але менше від 31.

Розв'язання

Кожне з чисел 108 і 144 має ділитися на кількість кімнат
у гуртожитку.
Запишемо розклад чисел на прості множники:
108 = 2 • 2 • 3 • 3 • 3 і 144 = 2 • 2 • 2 • 2 3 3
Числа 108 і 1 44 діляться на 1, прості числа 2 і 3, та
всі можливі добутки, а саме:
по два: 2 • 2 = 4, 2 • 3 = 6, 3 • = 9;
по три: 2 • • 3 = 12, 2 • • 3 = 18;
по чотири: 2 • 2 • • = 36.
Спільні дільники чисел 108 і 144: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Оскільки кількість кімнат більша ніж 14 і менша від 31, 
то в гуртожитку 18 кімнат.
Відповідь: 18 кімнат.

108|2

 54|2

 27|3

  9|3

  3|3

  1|

144|2

 72|2

 36|2

 18|2

  9|3

  3|3

  1|

Завдання  1040

Площа Італії разом з островами складає приблизно 309 500 км², а площа України — на 19/20 більша. Знайди площу України. Порівняй отриманий ре­зультат з точними даними про площу України.

Розв'язання

1) 309 500 : 20 • 19 = 15475 • 19 = 294 025 (км² на стільки більша площа;

2) 309 500 + 294025 = 603 525 (км² площа України.

За довідниковими даними площа України сягає 603 628 км².

Відповідь: площа України 603 525 км², отриманий результат є меншим за довідниковими даними. 

 

Завдання  1041

На одній чаші зрівноважених терезів стоїть банка із цукром, а на другій — важки масою 3 кг 500 г. Скільки грамів цукру в банці, якщо порожня банка в 6 разів легша від цукру?

Розв'язання

Нехай порожня банка важить х г, тоді цукор в банці — 6х г, а разом — 3600 г. Складаємо рівняння:

х + 6х = 3500
7х = 3500
х = 3500 : 7

х = 500 (г)  важить порожня банка;

500 • 6 = 3000 (г)  важить цукор в банці.

Відповідь: 3000 г цукру.

 

Завдання 1042

Марічка планувала купити ігрову «мишку» вартістю 270 грн. Проте, прийшовши до магазину, побачила, що ціна «мишки» підвищилася на 1/9. Скільки Марічці довелося заплатити за «мишку»?

Розв'язання

1) 270 : 9 = 30 (грн)  на стільки підвищилася ціни «мишки»;
2) 270 + 30 = 300 (грн)  довелося заплатити за «мишку».
Відповідь: 300 грн.

 

Завдання 1043

1) У числі 1019 остання цифра 0, бо 10 — кругле число, яке у будь-якій степені буде круглим числом.

2) У числі 52022 остання цифра 5, бо добуток 5 • 5 • 5 • ... дає останню цифру 5.

3) У числі 315 остання цифра 7, бо 31 = 3, 32 = 9, 33 = 27, 34 = 81, дальше йде циклічне повторення через чотири значення останньої цифри від 3, 9, 7 до 1. Оскільки 15  4 • 3 = 3, тобто третя цифра в циклічному повторенні, тому вона дорівнює 7.

4) У числі 22024 остання цифра 6бо 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16, дальше йде циклічне повторення через чотири значення останньої цифри від 2, 4, 8 до 6. Оскільки 2024 : 4 = 506, тобто четверта цифра в циклічному повторенні, тому вона дорівнює 6.

Інші завдання дивись тут...