Завдання 1020 Чи є число 4 спільним дільником чисел:
1) 8 і 12; Так
8 : 4 = 2; 12 : 4 = 3
|
2) 9 і 16; Ні
|
3) 20 і 24; Так
20 : 4 = 5; 24 : 4 = 6
|
4) 28 і 31? Ні
|
Знайди спільні дільники та найбільший спільний дільник:
1) чисел 2 і 4;
Дільники 2: 1, 2. Дільники 4: 1, 2 4. Спільні дільники 1 і 2.
НСД(2;4) = 1 • 2 = 2
2) чисел 6 і 15;
Дільники 6: 1, 2, 3, 6. Дільники 15: 1, 3, 5, 15. Спільні дільники 1 і 3.
НСД(6;15) = 1 • 3 = 3
3) чисел 8 і 18.
Дільники 8: 1, 2, 4, 8. Дільники 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Спільні дільники 1 і 2.
НСД(8;18) = 1 • 2 = 2
Завдання 1022
Знайди найбільший спільний дільник чисел a і b, якщо:
1) a = 2 • 3 • 5 • 7 • 17; b = 2 • 5 • 13 НСД(a;b) = 2 • 5 = 10
|
2) a = 2 • 3 • 3 • 5 • 19; b = 3 • 3 • 11; НСД(a;b) = 3 • 3 = 9 |
2) a = 2 • 3 • 3 • 5 • 19, b = 3 • 3 • 11; НСД(a;b) = 3 • 3 = 9
Завдання 1023
1) c = 3 • 3 • 7 • 11, d = 3 • 7 • 13; НСД(c;d) = 3 • 7 = 21
2) c = 2 • 3 • 5 • 17, d = 2 • 5 • 19 • 23. НСД(c;d) = 2 • 5 = 10
Завдання 1024 Чи є взаємно простими числа:
1) 7 і 14; Ні, бо в розкладі на прості множники 7 = 7 і 14 = 2 • 7 є спільний дільник 7.
2) 9 і 8; Так, бо в розкладі на прості множники 9 = 3 • 3 і 8 = 2 • 2 • 2, немає спільних дільників, тому НСД(9;8)=1.
3) 12 і 16; Ні, бо є парними, а значить діляться на 2, тобто мають спільний дільник 2.
4) 5 і 11? Так, бо в розкладі на прості множники 5 = 5, 11 = 11 немає спільних дільників, тому НСД(5;11)=1
Завдання 1025
Із чисел 3, 7, 15 і 28 склади всі можливі пари взаємно простих чисел.
3 і 7 взаємно прості, бо 3 = 3 і 7 = 7, немає спільних дільників, НСД(3;7)=1
3 і 15 не взаємно прості, бо 3 = 3 і 15 = 3 • 5, спільний дільник 3
3 і 28 взаємно прості, бо 3 = 3 і 28 = 2 • 2 • 7, немає спільних дільників, НСД(3;28)=1
7 і 15 взаємно прості, бо 7 = 7 і 15 = 3 • 5, немає спільних дільників, НСД(7;15)=1
7 і 28 не є взаємно прості, бо 7 = 7 і 28 = 2 • 2 • 7, спільний дільник 7
15 і 28 є взаємно прості, бо 15 = 3 • 5 і 28 = 2 • 2 • 7, немає спільних дільників, НСД(15;28)=1
Відповідь: 3 і 7; 3 і 28; 7 і 15; 15 і 28.
Завдання 1026 Знайди найбільший спільний дільник чисел.
1) 78 = 2 • 3 • 13
195 = 5 • 3 • 13
НСД (78;195) = 3 • 13 = 39
2) 35 = 5 • 7
18 = 2 • 3 • 3
НСД (35;18) = 1
3) 210 = 2 • 5 • 3 • 7
120 = 2 • 2 • 2 • 5 • 3
НСД (35;18) = 2 • 5 • 3= 30
|
78|2 39|3 13|13 1| |
195|5 39|3 13|13 1| |
18|2 9|3 3|3 1| |
210|2 105|5 21|3 7|7 1| |
120|2 60|2 30|2 15|5 3|3 1|
|
|
4) 735 = 3 • 5 • 7 • 7
70 = 2 • 5 • 7
НСД (735;70) = 5 • 7 = 35
5) 4 = 2 • 2
24 = 2 • 2 • 2 • 3
НСД (4;24) = 2 • 2 = 4
6) 36 = 2 • 2 • 3 • 3
54 = 2 • 3 • 3 • 3
72 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3
НСД (36;54;72) = 2 • 3 • 3 = 18
|
735|3 245|5 49|7 7|7 1| |
70|2 35|5 7|7 1| |
24|2 12|2 6|2 3|3 1| |
36|2 18|2 9|3 3|3 1| |
54|2 27|3 9|3 3|3 1| |
72|2 36|2 18|2 9|3 3|3 1| |
Завдання 1027
1) 24 = 2 • 2 • 2 • 3
40 = 2 • 2 • 2 • 5
НСД (24;40) = 2 • 2 • 2 = 8
2) 70 = 2 • 5 • 7
110 = 2 • 5 • 11
НСД (70;110) = 2 • 5 = 10
3) 49 = 7 • 7
48 = 2 • 2 • 2 • 2 • 3
НСД (49;48) = 1
|
4) 231 = 3 • 7 • 11
273 = 3 • 7 • 13
НСД (231;273) = 3 • 7 = 21
5) 5 = 5
25 = 5 • 5
45 = 5 • 3 • 3
НСД (5;25;45) = 5
6) 150 = 2 • 3 • 5 • 5
375 = 3 • 5 • 5 • 5
600 = 2 • 2 • 2 • 3 • 5 • 5
НСД (150;375;600) = 3 • 5 • 5 = 75
|
|||||||||||||||||||
24|2 12|2 6|2 3|3 1| |
40|2 20|2 10|2 5|5 1| |
70|2 35|5 7|7 1| |
110|2 55|5 11|11 1| |
48|2 24|2 12|2 6|2 3|3 1| |
231|3 77|7 11|11 1| |
273|3 91|7 13|13 1| |
45|5 9|3 3|3 1| |
150|2 75|3 25|5 5|5 1| |
375|2 125|5 25|5 5|5 1| |
600|2 300|2 150|2 75|3 25|5 5|5 1| |
Завдання 1028 Запиши три числа, які з числом 12:
1) є взаємно простими; 5, 7, 11
Оскільки 12 = 2 • 2 • 3, тоді інші три числа не можуть мати дільники 2, 3, 4, 6, 12, щоб вони не були спільними, отже, такими числами можуть бути числа 5, 7 і 11.
2) не є взаємно простими. 2, 4, 24
Оскільки 12 = 2 • 2 • 3, тоді інші три числа можуть мати дільники 2, 3, 4, 6, 12, щоб вони були спільними, отже, такими числами можуть бути числа 2, 4 і 24.
Завдання 1029 Запиши чотири числа, які з числом 15:
1) є взаємно простими; 2, 7, 11, 13
Оскільки 15 = 3 • 5, тоді інші чотири числа не можуть мати дільники 3, 5 і 15, щоб вони не були спільними, отже, такими числами можуть бути числа 2, 7, 11 і 13.
2) не є взаємно простими. 3, 5, 30, 45
Оскільки 15 = 3 • 5, тоді інші чотири числа можуть мати дільники 3, 5 і 15, щоб вони були спільними, отже, такими числами можуть бути числа 3, 5, 30 і 45.
Завдання 1030 Доведи, що числа:
1) 55 і 42 взаємно прості;
|
||
Оскільки у розкладі на прості множники:
55 = 5 • 11 і 42 = 2 • 3 числа не мають спільних
дільників, тому НСД(55;42) = 1, отже, 55 і 42 є взаємно прості.
|
55|5 11|11 1| |
42|2 21|3 7|7 1| |
2) 325 і 462 є взаємно прості.
|
|
|
Оскільки у розкладі на прості множники: 325 = 5 • 5 • 13 і 462 = 2 • 3 • 7 • 11 числа не мають спільних дільників, тому НСД(325;462) = 1, отже, 325 і 402 є взаємно прості. |
325|5 65|5 13|13 1| |
462|2 231|3 77|7 11|11 1| |
Завдання 1031 Доведи, що числа:
1) 140 і 546 не взаємно прості:
Оскільки числа є парні, значить діляться на 2, тому мають спільний дільник 2,
отже, 140 і 546 не є взаємно прості.
|
||
2) 78 і 385 взаємно прості:
|
|
|
Оскільки в розкладі на прості множники:
78 = 2 • 3 • 13 і 385 = 5 • 7 • 11 числа не мають спільних
дільників, тому НСД(78;385) = 1, отже, 78 і 546 є взаємно прості.
|
78|2 39|3 13|13 1| |
385|5 77|7 11|11 1| |
Завдання 1032
Чи є взаємно простими числа:
1) 3 і 100;
Так, оскільки 3 — просте число, а 100 — не ділиться на 3, тому НСД(3;100) = 1.
2) 35 і 133;
Ні, оскільки в розкладі на прості множники 35 = 5 • 7 і 133 = 7 • 19 спільний дільник 7.
3) 143 і 209;
Ні, оскільки в розкладі на прості множники 143 = 11 • 13 і 209 = 11 • 19 спільний дільник 11.
4) 2010 і 2012.
Ні, числа 2010 і 2012 є парними, значить діляться на 2, тому мають спільний дільник 2.
Завдання 1033 Ознаки подільності чисел
Чи є взаємно простими числа:
1) 7 і 48;
Так, оскільки 7 — просте число, а 48 — не ділиться на 7, тому НСД(7;48)=1.
2) 21 і 161;
Ні, оскільки в розкладі на прості множники 21 = 3 • 7 і 161 = 7 • 23, спільний дільник 7.
3) 66 і 455;
Так, оскільки в розкладі на прості множники 66 = 2 • 3 • 11 і 455 = 5 • 7 • 13, немає спільних дільників, тому НСД(66;455)=1.
4) 2005 і 3005.
Ні, числа 2005 і 3005 закінчуються цифрою 5, значить діляться на 5, тому мають спільний дільник 5.
Завдання 1034
Яку найбільшу кількість однакових подарунків можна скласти з 72 цукерок «Волошка» і 60 цукерок «Троянда», використавши всі цукерки?
Кожне з чисел 72 і 60 має ділитися на кількість подарунків.
Запишемо розклад чисел на прості множники.
72 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 і 60 = 2 • 3 • 2 • 5
Знайдемо найбільший спільний дільник.
НСД(72;60) = 2 • 2 • 3 = 12, отже, найбільше можна
скласти 12 подарунків.
Відповідь: 12 подарунків.
|
72|2 36|2 18|2 9|3 3|3 1| |
60|2 30|3 10|2 5|5 1| |
Завдання 1035
У яку найбільшу кількість шкіл можна порівну розподілити усі 108 запрошень на святковий концерт та усі 120 запрошень на виставку, що проходитимуть під час святкування Дня міста? По скільки запрошень кожного виду отримають ці школи?
Розв'язання
Кожне з чисел 108 і 120 має ділитися на кількість шкіл.
Запишемо розклад чисел на прості множники:
108 = 2 • 2 • 3 • 3 • 3 і 120 = 2 • 2 • 2 • 5 • 3
Знайдемо найбільший спільний дільник.
НСД (108;120) = 2 • 2 • 3 = 12, отже,
найбільша кількість 12 шкіл.
1) 108 : 12 = 9 (шт.) – запрошень на виставу;
2) 120 : 12 = 10 (шт.) – запрошень на День міста.
Відповідь: 12 шкіл; у кожну школу 9 запрошень на виставу
і 10 запрошень на День міста.
|
108|2 54|2 27|3 9|3 3|3 1| |
120|2 60|2 30|2 15|5 3|3 1| |
Завдання 1036
У п'ятих класах 24 хлопці і 36 дівчат. Їх поділили на групи для вивчення іноземних мов так, щоб у кожній групі була однакова кількість дівчат і хлопців. На скільки груп поділили п'ятикласників, якщо груп більше ніж 7?
Розв'язання
Кожне з чисел 24 і 36 має ділитися на кількість груп.
Запишемо розклад чисел на прості множники:
24 = 2 • 2 • 2 • 3 і 36 = 2 • 2 • 3 • 3
Числа 24 і 36 діляться на 1, прості числа 2 і 3, та
всі можливі добутки, а саме:
по два: 2 • 2 = 4, 2 • 3 = 6;
по три : 2 • 2 • 3 = 12.
Спільні дільники чисел 24 і 36: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Оскільки кількість груп більша за 7, то їх 12.
Відповідь: 12 груп.
|
24|2 12|2 6|2 3|3 1| |
36|2 18|2 9|3 3|3 1| |
Завдання 1037
В одному поїзді 252 купейних місця, а в іншому — 396 купейних місць. По скільки купейних вагонів у кожному поїзді, якщо в усіх купейних вагонах кількість місць однакова і більша за 20?
Розв'язання
Кожне з чисел 252 і 396 має ділитися на кількість
купейних місць в одному вагоні.
Запишемо розклад чисел на прості множники:
252 = 2 • 2 • 3 • 3 • 7 і 396 = 2 • 2 • 3 • 3 • 11
Числа 252 і 396 діляться на 1, прості числа 2 і 3, та
всі можливі добутки, а саме:
по два: 2 • 2 = 4, 2 • 3 = 6, 3 • 3 = 9;
по три: 2 • 2 • 3 = 12, 2 • 3 • 3 = 18;
по чотири: 2 • 2 • 3 • 3 = 36.
Спільні дільники чисел 252 і 396: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Оскільки кількість місць більша за 20, то у вагоні 36 місць.
1) 252 : 36 = 7 (в.) – купейних вагонів в одному поїзді;
3) 396 : 36 = 11 (в.) – купейних вагонів в іншому поїзді.
Відповідь: 7 вагонів; 11 вагонів.
|
252|2 126|2 63|3 21|3 7|7 1| |
396|2 198|2 99|3 33|3 11|11 1| |
Завдання 1038
Із 210 білих, 150 жовтих і 90 червоних троянд треба скласти однакові букети так, щоб у кожному букеті були троянди всіх трьох кольорів. Яку найбільшу кількість таких букетів можна скласти? Скільки троянд кожного кольору буде в кожному букеті?
Розв'язання
Кожне з чисел 210, 150 і 90 має ділитися на кількість букетів.
Запишемо розклад чисел на прості множники:
210 = 2 • 5 • 3 • 7; 150 = 2 • 5 • 3 • 5 і 90 = 3 • 3 • 2 • 5
Знайдемо найбільший спільний дільник.
НСД(210;150;90) = 2 • 3 • 5 = 30, отже,
найбільша кількість 30 букетів;
1) 210 : 30 = 7 (кв.) – у букеті білих троянд;
2) 150 : 30 = 5 (кв.) – у букеті жовтих троянд;
3) 90 : 30 = 3 (кв.) – у букеті червоних троянд.
Відповідь: 30 букетів; у букеті 7 білих, 5 жовтих і 3 червоні трянди.
|
210|2 105|5 21|3 7|7 1| |
150|2 75|5 15|3 5|5 1| |
90|3 30|3 10|2 5|5 1| |
Завдання 1039
Для студентського гуртожитку придбали 108 настільних ламп та 144 стільці, які розподілили порівну по всіх кімнатах. Скільки кімнат у гуртожитку, якщо їх більше ніж 14, але менше від 31.
Розв'язання
Кожне з чисел 108 і 144 має ділитися на кількість кімнат
у гуртожитку.
Запишемо розклад чисел на прості множники:
108 = 2 • 2 • 3 • 3 • 3 і 144 = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3
Числа 108 і 1 44 діляться на 1, прості числа 2 і 3, та
всі можливі добутки, а саме:
по два: 2 • 2 = 4, 2 • 3 = 6, 3 • 3 = 9;
по три: 2 • 2 • 3 = 12, 2 • 3 • 3 = 18;
по чотири: 2 • 2 • 3 • 3 = 36.
Спільні дільники чисел 108 і 144: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Оскільки кількість кімнат більша ніж 14 і менша від 31,
то в гуртожитку 18 кімнат.
Відповідь: 18 кімнат.
|
108|2 54|2 27|3 9|3 3|3 1| |
144|2 72|2 36|2 18|2 9|3 3|3 1| |
Завдання 1040
Площа Італії разом з островами складає приблизно 309 500 км², а площа України — на 19/20 більша. Знайди площу України. Порівняй отриманий результат з точними даними про площу України.
Розв'язання
1) 309 500 : 20 • 19 = 15475 • 19 = 294 025 (км²) – на стільки більша площа;
2) 309 500 + 294025 = 603 525 (км²) – площа України.
За довідниковими даними площа України сягає 603 628 км².
Відповідь: площа України 603 525 км², отриманий результат є меншим за довідниковими даними.
Завдання 1041
На одній чаші зрівноважених терезів стоїть банка із цукром, а на другій — важки масою 3 кг 500 г. Скільки грамів цукру в банці, якщо порожня банка в 6 разів легша від цукру?
Розв'язання
Нехай порожня банка важить х г, тоді цукор в банці — 6х г, а разом — 3600 г. Складаємо рівняння:
х + 6х = 3500
7х = 3500
х = 3500 : 7
х = 500 (г) – важить порожня банка;
500 • 6 = 3000 (г) – важить цукор в банці.
Відповідь: 3000 г цукру.
Завдання 1042
Марічка планувала купити ігрову «мишку» вартістю 270 грн. Проте, прийшовши до магазину, побачила, що ціна «мишки» підвищилася на 1/9. Скільки Марічці довелося заплатити за «мишку»?
Розв'язання
Завдання 1043
1) У числі 1019 остання цифра 0, бо 10 — кругле число, яке у будь-якій степені буде круглим числом.
2) У числі 52022 остання цифра 5, бо добуток 5 • 5 • 5 • ... дає останню цифру 5.
3) У числі 315 остання цифра 7, бо 31 = 3, 32 = 9, 33 = 27, 34 = 81, дальше йде циклічне повторення через чотири значення останньої цифри від 3, 9, 7 до 1. Оскільки 15 – 4 • 3 = 3, тобто третя цифра в циклічному повторенні, тому вона дорівнює 7.
4) У числі 22024 остання цифра 6. бо 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16, дальше йде циклічне повторення через чотири значення останньої цифри від 2, 4, 8 до 6. Оскільки 2024 : 4 = 506, тобто четверта цифра в циклічному повторенні, тому вона дорівнює 6.