Завдання 651
Відстань від Львова до Вінниці — 360 км. Два автомобілі виїхали одночасно із цих міст назустріч один одному й зустрілися через 2 год. Знайдіть швидкість кожного автомобіля, якщо швидкість першого на 10 км/год більша за швидкість другого.
Розв'язання
Нехай швидкість другого автомобіля х год/год, тоді швидкість першого автомобіля х + 10 км/год, а швидкість зближення автомобілів
х + х + 10 = 2х + 10. Вся відстань складає (2х + 10) • 2 = 4х + 20 або 360 км. Маємо рівняння.
4х + 20 = 360
4х = 360 – 20
4х = 340
х = 340 : 4
х = 85 (км/год) – швидкість другого автомобіля;
85 + 10 = 95 (км/год) – швидкість першого автомобіля.
Відповідь: 95 км/год і 85 км/год.
Завдання 652
Відстань від Хмельницького до Запоріжжя — 740 км. Одночасно назустріч один одному із цих двох міст виїхали два міжміські автобуси й зустрілись у дорозі через 4 год. Знайдіть швидкість кожного автобуса, якщо швидкість першого на 5 км/год менша від швидкості другого.
Розв'язання
Нехай швидкість другого автобуса х год/год, тоді швидкість першого автобуса х + 5 км/год, а швидкість зближення автобусів
х + х + 5 = 2х + 5. Вся відстань складає (2х + 5) • 4 = 8х + 20 або 740 км. Маємо рівняння.
8х + 20 = 740
8х = 740 – 20
8х = 720
х = 720 : 8
х = 90 (км/год) – швидкість другого автобуса;
90 + 5 = 95 (км/год) – швидкість першого автобуса.
Відповідь: 95 км/год і 85 км/год.
Завдання 653
Дві вантажівки виїхали одночасно з Кропивницького в протилежних напрямках. Через 2 год відстань між ними становила 330 км. Знайдіть швидкість кожної вантажівки, якщо швидкість першої на 5 км/год менша від швидкості другої.
Розв'язання
Нехай швидкість другої вантажівки х год/год, тоді швидкість першої вантажівки х + 5 км/год, а швидкість зближення вантажівок
х + х + 5 = 2х + 5. Вся відстань складає (2х + 5) • 2 = 4х + 10 або 330 км. Маємо рівняння.
4х + 10 = 330
4х = 330 – 10
4х = 320
х = 320 : 4
х = 80 (км/год) – швидкість другої вантажівки;
80 + 5 = 85 (км/год) – швидкість першої вантажівки.
Відповідь: 85 км/год і 80 км/год.
Завдання 654
Два автобуси одночасно й у протилежних напрямках виїхали з Березневого. Через 3 год відстань між ними становила 435 км. Знайдіть швидкість кожного автобуса, якщо швидкість першого на 5 км/год більша за швидкість другого.
Розв'язання
Нехай швидкість другого автобуса х год/год, тоді швидкість першого автобуса х + 5 км/год, а швидкість зближення автобусів
х + х + 5 = 2х + 5. Вся відстань складає (2х + 5) • 3 = 6х + 15 або 435 км. Маємо рівняння.
6х + 15 = 435
6х = 435 – 15
6х = 420
х = 420 : 6
х = 70 (км/год) – швидкість другого автобуса;
70 + 5 = 75 (км/год) – швидкість першого автобуса.
Відповідь: 75 км/год і 70 км/год.
Завдання 655
З Вергунів одночасно й в одному напрямку виїхали два мотоциклісти. Через 2 год відстань між ними становила 10 км. Знайдіть швидкість кожного мотоцикліста, якщо за 3 год другий мотоцикліст проїхав 270 км.
Розв'язання
1) 270 : 3 = 90 (км/год) – швидкість 2-го мотоцикліста;
2) 10 : 2 = 5 (км/год) – різниця швидкостей;
3) 90 – 5 = 85 (км/год) – швидкість 1-го мотоцикліста.
Відповідь: 85 км/год і 90 км/год.
Завдання 656
Із Полтави одночасно й в одному напрямку виїхали два автомобілі. Через 3 год відстань між ними становила 30 км. Знайдіть швидкість кожного автомобіля, якщо за 2 год перший автомобіль проїхав 160 км.
Розв'язання
1) 160 : 2 = 80 (км/год) – швидкість 1-го автомобіля;
2) 30 : 3 = 10 (км/год) – різниця швидкостей;
3) 80 + 10 = 90 (км/год) – швидкість 2-го автомобіля.
Відповідь: 80 км/год і 90 км/год.
Завдання 657
Відстань між двома пристанями — 72 км. Катер долає цю відстань за течією річки за 6 год, а проти течії — за 9 год. Знайдіть швидкість течії річки та власну швидкість катера.
Розв'язання
1) 72 : 6 = 12 (км/год) – швидкість катера за течією річки;
2) 72 : 9 = 8 (км/год) – швидкість катера проти течії річки;
3) (12 – 8) : 2 = 2 (км/год) – швидкість течії річки;
5) 12 – 2 = 10 (км/год) – власна швидкість катера.
Відповідь: 2 км/год і 10 км/год.
Завдання 658
Відстань між двома пристанями — 60 км. Моторний човен долає цю відстань за течією річки за 3 год, а проти течії — за 6 год. Знайдіть власну швидкість човна та швидкість течії річки.
Розв'язання
1) 60 : 3 = 20 (км/год) – швидкість човна за течією річки;
2) 60 : 6 = 10 (км/год) – швидкість човна проти течії річки;
3) (20 – 10) : 2 = 5 (км/год) – швидкість течії річки;
5) 20 – 5 = 15 (км/год) – власна швидкість катера.
Відповідь: 15 км/год і 5 км/год.
Завдання 659
Відстань між двома пристанями — 60 км. Із цих пристаней назустріч один одному вийшли два моторні човни з однаковою швидкістю і зустрілися через 2 год. Знайдіть швидкість кожного моторного човна, якщо швидкість течії становить 2 км/год.
Розв'язання
Нехай власна швидкість човнів х км/год, тоді швидкість за течією річки (х + 2) км/год, а швидкість проти течії річки (х – 2) км/год, а швидкість зближення човнів (х + 2 + х – 2) = 2х км/год. Вони пройдуть відстань 2х • 2 = 4х або 60 км. Маємо рівняння.
4х = 60
х = 60 : 4
х = 15 (км/год) – власна швидкість човнів;
15 + 2 = 17 (км/год) – швидкість першого човна;
15 – 2 = 13 (км/год) – швидкість другого човна.
Відповідь: першого човна – 17 км/год, другого – 13 км/год.
Завдання 660
Відстань між двома пристанями — 140 км. Із цих пристаней назустріч один одному вийшли два катери з однаковою швидкістю і зустрілися через 2 год. Знайдіть швидкість кожного катера, якщо швидкість течії становить 3 км/год.
Розв'язання
Нехай власна швидкість катерів х км/год, тоді швидкість за течією річки (х + 3) км/год, а швидкість проти течії річки (х – 3) км/год, а швидкість зближення човнів (х + 3 + х – 3) = 2х км/год. Вони пройдуть відстань 2х • 2 = 4х або 140 км. Маємо рівняння.
4х = 140
х = 140 : 4
х = 35 (км/год) – власна швидкість катерів;
35 + 3 = 38 (км/год) – швидкість першого катера;
35 – 3 = 32 (км/год) – швидкість другого катера.
Відповідь: 38 км/год і 32 км/год.
Завдання 661
Сергійко спитав у батька: «Котра година?». Батько відповів: «Порахуй: до кінця доби залишилося втричі менше часу, ніж пройшло від її початку». Котра зараз година?
Розв'язання
Нехай до кінця доби залишилося х год, тоді від початку доби пройшло 3х год, а разом цей час дорівнює 1 добі. Складаємо рівняння.
х + 3х = 24
4х = 24
х = 24 : 4
х = 6 (год) – часу залишилось до кінця доби;
3х = 3 • 6 = 18 (год). – часу пройшло від початку доби.
Відповідь: зараз 18 година.
Завдання 662
Тарас привітав Лесю з днем народження. Його запитали, скільки років Лесі. Тарас відповів так: «Через три роки Леся буде удвічі старша, ніж три роки тому». Скільки років Лесі зараз?
Розв'язання
Нехай три роки тому Лесі було х років, тоді через три роки їй буде 2х років. Складаємо рівняння:
2х – х = 6
х = 6 (р.) – було три роки тому Лесі;
6 + 3 = 9 (р.) – буде через три роки Лесі.
Відповідь: зараз Лесі 9 років.
Завдання 663
Старовинна задача. Учень на запитання, скільки йому років, відповів: «Я в три рази молодший за свою матір і в чотири рази молодший за свого батька. Якщо до суми наших років, узятих разом, додати 12 років, то вийде рівно 100 років». Скільки років учневі, його матері й батькові?
Розв'язання
Нехай учневі х років, тоді його матері 3х років, а батькові 4х років. Складаємо рівняння.
х + 3х + 4х + 12 = 100
8х + 12 = 100
8х = 100 – 12
8х = 88
х = 88 : 8
х = 11 (р.) – років учневі;
3х = 3 • 11 = 33 (р.) – років мамі;
4х = 4 • 11 = 44 (р.) – років татові.
Відповідь: 11 років, 33 роки й 44 роки.
Завдання 664
Донька на 4 роки молодша від сина й у 4 рази молодша від мами, а син — у 3 рази молодший від батька. Скільки років кожному, якщо їм усім разом 88 років?
Розв'язання
Нехай доньці х років, тоді синові (х + 4) років, мамі 4х років, а татові – 3(х + 4) років. Складаємо рівняння.
х + х + 4 + 4х + 3(х + 4) = 88
х + х + 4 + 4х + 3х + 12 = 88
9х + 16 = 88
9х = 88 – 16
9х = 72
х = 72 : 9
х = 8 (р.) – років доньці;
х + 4 = 8 + 4 = 12 (р.) – років синові;
4х = 4 • 8 = 32 (р.) – років мамі;
3(х + 4) = 3 • (8 + 4) = 3 • 12 = 36 (р.) – років татові.
Відповідь: доньці 8 років, синові 12 років, мамі 32 роки, татові 36 років.
Завдання 665
Петрик і Марійка грали в шашки. Петрик замислився над своїм ходом, а Марійка тим часом порахувала, що на дошці (64 клітинки) порожніх клітинок утричі більше, ніж зайнятих, і що в неї на 2 шашки більше, ніж у Петрика. Скільки шашок було в дітей на той час?
Розв'язання
Нехай шашки Петрика зайняли х клітинок, тоді шашки Марійки зайняли (х + 2) клітинки, а разом шашки зайняли х + х + 2 або 64 : 4 = 16 клітинок. Маємо рівняння:
2х + х + 2 = 16
2х = 16 – 2
2х = 14
х = 14 : 2
х = 7 (кл.) – зайняли клітинки шашки Петрика;
х + 2 = 7 + 2 = 9 (кл.) – зайняли клітинки шашки Марійки.
Відповідь: 7 шашок і 9 шашок.
Завдання 666
Старовинна задача. Дідусь говорить онукам: «Ось вам 130 горіхів. Поділіть їх на дві частини так, щоб менша частина, збільшена в 4 рази, дорівнювала більшій частині, зменшеній у 3 рази». Як поділити горіхи?
Розв'язання
Нехай менша частина становить х горіхів, тоді менша частина, збільшена в 4 рази, становитиме 4х горіхів, але оскільки вона менша від більшої частини у 3 рази, то більша частина горіхів становить 4х • 3, тобто 12х горіхів. Маємо рівняння.
х + 12х = 130
13х = 130
х = 130 : 13
х = 10 (г.) – горіхів у меншій частині;
12х = 12 • 10 = 120 (г.) – горіхів у більшій частині.
Відповідь: горіхи поділили на частини з 10 горіхів і 120 горіхів.
Завдання 667
На шкільній олімпіаді з математики було запропоновано для розв’язування 7 задач. За кожну задачу, розв’язану правильно, нараховували 5 балів, а за кожну задачу, розв’язану неправильно, знімали 3 бали. Скільки задач правильно розв’язала Оксанка, якщо вона отримала на олімпіаді з математики 19 балів?
Розв'язання
Нехай Оксанка розв'язала правильно х задач, тоді неправильно вона розв'язала (7 – х) задач. За правильно розв'зані задачі Оксанка отримала 5х балів, а за неправильно розв'язані з неї зняли 3(7 – х) балів. Складаємо рівняння.
5х – 3(7 – х) = 19
5х – 21 + 3х = 19
8х = 40
х = 40 : 8
х = 5
Відповідь: Оксанка правильно розв'язала 5 задач.
Завдання 668
Один господар придбав на ринку 3 кг помідорів за ціною a грн/кг і 2 кг огірків за ціною b грн/кг. Другий господар заплатив за 6 кг картоплі стільки само грошей, скільки перший за всю покупку. Знайдіть вартість одного кілограма картоплі.
Розв'язання
1) 3а + 2b (грн) – заплатив перший господарі за всю покупку;
2) (3а + 2b) : 6 (грн) – ціна картоплі.
Відповідь: вартість кілограма картоплі (3а + 2b) : 6 гривень.
Завдання 669 Ознайомлення з продуктивністю праці
На фабриці потрібно пошити а костюмів. Перша майстриня може виконати завдання за n тижнів. За скільки тижнів зможе виконати завдання друга майстриня, якщо за тиждень вона шиє на 2 костюми більше, ніж перша?
Розв'язання
1) а : n (к./тижд.) – продуктивність праці першої майстрині;
2) а : n + 2 (к./тижд.) – продуктивність праці другої майстрині;
3) a : (a : n + 2) (тижд.) – за стільки тижнів зможе пошити а костюмів.
Відповідь: друга майстриня зможе виконати завдання за a : (a : n + 2) тижнів.
Завдання 670
Велосипедист їде зі швидкістю a м/хв. Назустріч йому рухається автобус. Через 10 хв відстань між ними зменшилася на b м. Знайдіть швидкість автобуса.
Розв'язання
1) 10a – відстань проїхав велосипедист;
2) b – 10a – відстань проїхав автобус;
3) (b – 10a) : 10 – швидкість автобуса.
Відповідь: швидкість автобуса (b – 10a) : 10 м/хв.
Завдання 671
Із селища одночасно в одному напрямку виїхали дві вершниці. Через 30 хв відстань між ними становила m м. Швидкість вершниці, яка їхала швидше, дорівнює n м/хв. Знайдіть швидкість другої вершниці.
Розв'язання
1) 30n (км) – відстань, яку проїхала перша вершниця;
2) m – 30n – відстань яку проїхала друга вершниця;
3) (m – 30n) : 30 – швидкість другої вершниці.
Відповідь: швидкість другої вершниці (m – 30n) : 30 м/хв.
Завдання 672
Катер ішов 2 год зі швидкістю a км/год, а решту часу — зі швидкістю b км/год. Скільки годин катер був у дорозі, якщо він пройшов відстань c км?
Розв'язання
1) 2а (км) – відстань пройшов катер;
2) с – 2а (км) – решта відстані;
3) (с – 2а) : b (год) – решта часу.
4) 2 + (с – 2а) : b (год) – весь час в дорозі.
Відповідь: катер був у дорозі 2 + (с – 2а) : b год.
Завдання 673
Складіть і розв’яжіть задачу про свій вік та вік інших членів власної родини. Скільки мені років, якщо мама старша від мене на 23 роки, тато — на 26 років, а загальний вік членів моєї сім'ї становить 79 років?
Розв’язання
Нехай мені х років. Тоді мамі (х + 22) років, а татові (х + 26) років. Складаємо рівняння.
х + х + 23 + х + 26 = 79
3х + 49 = 79
3х = 79 – 49
3х = 30
х = 30 : 3
х = 10 (р.)
Відповідь: мені 10 років.
Завдання 674
Складіть і розв’яжіть задачу про купівлю печива й цукерок, якщо кілограм печива коштує 40 грн, а кілограм цукерок — 62 грн. На 266 грн купили разом 5 кг печива і цукерок. Скільки кілограмів печива і цукерок окремо купили, якщо кілограм печива коштує 40 грн, а кілограм цукерок — 62 грн?
Розв’язання
Нехай цукерок купили х кг, тоді печива купили (5 - х) кг. Вартість цукерок становить 62х грн, а вартість печива 40(5 - х) кг. Складаємо рівняння.
62х + 40 (5 – х) = 266
62х + 200 – 40х = 266
22х = 266 – 200
22х = 66
х = 66 : 22
х = 3 (кг) – купили цукерок;
5 – 3 = 2 (кг) – купили печива.
Відповідь: 2 кг і 3 кг.
Завдання 675
За 20 днів столярна майстерня планувала виготовити 120 стільців. Але кожного дня виготовляла на 2 стільці більше, ніж планували. 1) Скільки стільців виготовляла майстерня щодня? 2) За скільки днів майстерня виконає план?
Розв’язання
1) 120 : 20 = 6 (ст.) – планувала майстерня виготовляти стільців щодня;
2) 6 + 2 = 8 (ст.) – виготовляла майстерня стільців щодня;
3) 120 : 8 = 15 (дн.) – за стільки днів майстерня виконає план.
Відповідь: майстерня виготовляла 8 стільців за день та виконала план за 15 днів.
Завдання 676
Складіть і розв’яжіть задачу про кількість хлопців і дівчат у вашому класі. Скільки окремо дівчат і хлопців навчається в нашому класі, якщо дівчат на 6 дітей більше, ніж хлопців, а всього у класі навчається 30 дітей.
Розв’язання
Нехай у класі хлопців х дітей, тоді дівчат буде х + 6 дітей, а всього х + х + 6 або 30 дітей. Маємо рівняння.
х + х + 6 = 30
2х = 30 – 6
2х = 24
х = 24 : 2
х = 12 (д.) – стільки хлопців;
х + 6 = 12 + 6 = 18 (д.) – стільки дівчат.
Відповідь: 18 дітей і 12 дітей.
Завдання 677
У таблиці 37 наведено ціну канцелярських товарів.
1) Скільки гривень потрібно Богданові, щоб купити альбом, олівці та фарби?
12 + 48 + 22 = 60 + 22 = 82 (грн)
2) Чи вистачить Наталці 130 грн на покупку всіх товарів, що вказані в таблиці?
12 + 48 + 22 + 35 + 3 + 7 = 82 + 45 = 127 грн
127 < 130, так вистачить
3) Які покупки може зробити Василь, якщо в нього є 80 грн?
48 + 22 + 3 + 7 = 80 (грн) – може купити олівці, фарби, зошит і кольоровий папір.
Завдання 678
Сергійко з батьками на вихідні вирішили поїхати до Києва на новорічну виставу «Викрадачі Різдва», що відбудеться в Палаці «Україна». Відстань від Черкас до Києва — 180 км. До Києва родина планує їхати на автомобілі зі швидкістю 90 км/год, а повертатися — на автобусі зі швидкістю 60 км/год. Виїзд із Черкас заплановано на 8.00. 1) О котрій годині родина Сергійка приїде до Києва? 2) На яку годину заплановано виїзд додому, якщо родина планує пробути в Києві 6 год? 3) О котрій годині родина Сергійка повернеться до Черкас?
Розв’язання
1) 180 : 90 = 2 (год) – час в дорозі до Києва;
2) 8 год 0 хв + 2 год = 10 год 0 хв – приїдуть до Києва;
3) 10 год 0 хв + 6 год = 16 год 0 хв – заплановано виїзд додому;
4) 180 : 60 = 3 (год) – час в дорозі до Черкас;
5) 16 год 0 хв + 3 год = 19 год 0 хв – повернуться до Черкас.
Відповідь: 1) о 10 год; 2) о 16 год; 3) о 19 год.