ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ РОЗДІЛУ 1
До § 1
Вправа 67
1) точка перетину прямих a і b: М
2) точки належать прямій c: P, L (Р є с, L є c)
3) чи належить точка M прямій PL: не належить ( М ¢ PL)
4) як інакше можна назвати пряму b: РМ, або МР
Вправа 68
1) Побудуйте промені OK, OM і ON так, щоб промінь OM був доповняльним для променя ON.
Доповняльні промені мають спільний початок і лежать на одній прямій.
2) Побудуйте промені OA, OB і OC так, щоб серед побудованих променів не було жодної пари доповняльних.
Не лежать на одній прямій зі спільним початком.
Вправа 69
Позначте точки A, B і C так, щоб записи AB і AC означали дві різні прямі.
А – точка перетину двох прямих b і c.
Вправа 70
Одна з двох прямих, що перетинаються, проходить через точку M, яка належить іншій прямій. Що можна сказати про точку M і точку перетину цих прямих?
Оскільки точка М належить одній прямій, а іншій – не належить, тому точка М не є точкою перетину прямих.
Вправа 71
Точки A і B належать прямій l. Пряма m відмінна від прямої l і проходить через точку A. Чи може точка B належати прямій m? Відповідь обґрунтуйте.
Якщо точка А належить двом різним прямим l та m, то що означає – прямі перетинаються в точці А. Оскільки прямі різні, тоді вони перетинаються тільки в одній точці, отже, точка В не може належати прямій m.
Відповідь: не належить.
До § 2
Завдання 72
1) Позначте в зошиті точки A, B і C, які не лежать на одній прямій, та знайдіть відстані між кожною парою точок.
АВ = 3 см
ВС = 5 см
АС = 4 см
2) Позначте в зошиті точки D, E і F, які лежать на одній прямій, та знайдіть відстані між кожною парою точок.
DF = 6 см
DE = 2 см
EF = 4 см
Завдання 73
Накресліть відрізок KL = 6 см 8 мм. Позначте на ньому точку P так, що KP = 43 мм. Знайдіть довжину відрізка LP за допомогою обчислень.
KL = 6 см 8 мм = 68 мм
Якщо точка Р належить відрізку KL, тоді справедлива основна властивість вимірювання відрізків КL = КР + РL.
LP = PL = KL – KP = 68 мм – 43 мм = 25 мм
Завдання 74
Сумою яких двох відрізків є відрізок MN? Розгляньте всі можливі випадки.
MN = MA + AB + BN
MN = MA + (AB + BN) = MA + AN
MN = (MA + AB) + BN = MB + BN
Завдання 75
1) Три прямі перетинають відрізок AB, причому жодна з точок перетину прямих і відрізка не збігається з кінцями відрізка. На скільки частин ці точки можуть поділити відрізок?
Якщо три прямі перетинаються в одній точці, тоді буде 2 частини до кінців відрізка.
Якщо дві прямі перетинаються в одній точці, тоді 1 частина між прямими і ще 2 частини до кінців відрізка, разом 3 частини.
Між трьома точками буде 2 частини, і ще 2 частини до кінців відрізків, разом 4.
Відповідь: на 2, 3 або 4 частини.
2) На скільки частин поділиться відрізок, якщо кількість прямих дорівнює n?
Якщо n прямих перетинаються в одній точці, тоді буде 2 частини до кінців відрізка.
Якщо утвориться дві такі точки, тоді буде 1 частина між точками і ще 2 частини до кінців відрізка.
І так до n + 1 частини.
Відповідь: від 2 до n + 1 частини.
Завдання 76
1) Точка C – середина відрізка AB, точка D – середина відрізка AC. Знайдіть AC, CB, AD і DB, якщо AB = 20 см.
Якщо точка C – середина відрізка AB, тоді АВ = АС + СВ = 2АС;
АС = АВ : 2 = 20 см : 2 = 10 см.
СВ = АС = 10 см.
Якщо точка D – середина відрізка AC, тоді AC = AD + DC = 2AD.
AD = AC : 2 = 10 см : 2 = 5 см.
DС = АD = 5 см.
2) Точка C – середина відрізка AB, точка D – середина відрізка AC. Знайдіть AB, AC, AD і DB, якщо BC = 12 дм.
Якщо точка C – середина відрізка AB, тоді АВ = АС + СВ = 2СВ = 2ВС;
АВ = 12 дм • 2 = 24 дм.
АС = ВС = 12 дм.
Якщо точка D – середина відрізка AC, тоді AC = AD + DC = 2AD.
AD = AC : 2 = 12 дм : 2 = 6 дм.
DC = AD = 6 дм
CB = BC = 12 дм
DВ = DC + CB = 6 дм + 12 дм = 18 дм.
Завдання 77
Точки M і N належать відрізку CD, CD = 15 см, CM = 12 см, DN = 11 см. Знайдіть довжину відрізка NM.
Якщо точка M належить відрізку CD, тоді CD = CM + MD
MD = CD – CM = 15 см – 12 см = 3 см
Якщо точка N належать відрізку CD, тоді СD = CN + ND
CN = CD – DN = 15 см – 11 см = 4 см
Якщо точки M і N належать відрізку CD, тоді CD = CN + NM + MD,
NM = CD – CN – MD = 15 см – 4 см – 3 см = 8 см
Завдання 78
Точка P належить відрізку AB. На прямій AB позначте таку точку C, щоб ВС = АР/2. Скільки розв'язків має задача?
Якщо точка P належить відрізку AB, тоді АВ = АР + РВ.
Задача має два розв’язки.
Точка С може лежати справа від точки А.
Точка С може лежати зліва від точки А.
Завдання 79
Точка K належить відрізку CD, довжина якого a см. Знайдіть відстань між серединами відрізків CK і KD.
Якщо точка K належить відрізку CD, тоді CD = CK + KD = а см
Якщо деякі точки А, В будуть серединами відповідних відрізків CK і KD, тоді
СК = СА + AK = 2CA
KD = KB + BD = 2KB
2CA + 2KB = а см
2 • (CA + KB) = a см
CA + KB – відстань між серединами відрізків CK і KD.
CA + KB = a/2 см
До § 3
Завдання 80
ﮮAOB = 40°
ﮮBOC = 60° – 40° = 20°
ﮮCOD = 120°
ﮮAOD = 180°
Завдання 81
Два учні накреслили кути по 70°. Один з учнів сказав, що в нього кут більший, оскільки сторони його кута мають більшу довжину. Чи правий цей учень?
Учень неправий, оскільки величина кута вимірюється його градусною мірою. Якщо два учні накреслили кути по 70°, тоді їхні кути рівні.
Завдання 82
Усі можливі назви кута з вершиною A:
KAМ, або МАК,
КАС, або САК,
ВАС, або АСВ,
ВАМ, або МАВ.
Вправа 83 Бісектриса кута ділить його пополам.
Побудували бісектрису гострого кута 50°.
Побудували бісектрису тупого кута 140°.
Вправа 84
1) На який кут повертається хвилинна стрілка годинника протягом 15 хв; 7 хв; 23 хв?
Годинник має 60 поділок для хвилинної стрілки, у середині кола годинника градусна міра дорівнює 360, тоді 360 : 60 = 6 (°) – градусна міра між сусідніми поділками.
Щоб знайти градусну міру кута повороту хвилинної стрілки, треба 6° помножити на кількість хвилин.
6° • 15 = 90°
6° • 7 = 42°
6° • 23 = 138°
2) На який кут повертається годинна стрілка годинника протягом 1 хв; 6 хв; 40 хв?
6° • 1 = 6°
6° • 6 = 36°
6° • 40 = 240°
Вправа 85
OK – бісектриса кута AOB, OL - бісектриса кута KOB. Знайдіть:
1) ﮮLOK, якщо ﮮAOB = 120°;
Бісектриса ОК ділить кут АОВ пополам, тоді ﮮАОВ = ﮮАОК + ﮮКОВ,
ﮮКОВ = 1/2 ﮮАОВ = 120° : 2 = 60°
Бісектриса OL ділить кут КОВ пополам, тоді ﮮКОВ = ﮮКОL + ﮮLОВ,
ﮮКОL = ﮮLOK = 1/2 ﮮKOB = 60° : 2 = 30°
Відповідь: ﮮКОL = 30°
2) ﮮAOB, якщо ﮮLOB = 37°.
Бісектриса OL ділить кут КОВ пополам, тоді ﮮКОВ = ﮮКОL + ﮮLОВ
ﮮКОB = 2 • ﮮLOB = 2 • 37° = 74°
Бісектриса ОК ділить кут АОВ пополам, тоді ﮮАОВ = ﮮАОК + ﮮКОВ,
ﮮAOB = 2 • ﮮKOB = 2 • 74° = 148°
Відповідь: ﮮAOB = 148°
Вправа 86
ﮮAOB = ﮮBOC, ﮮCOD = ﮮDOE.
1) Знайдіть ﮮBOD, якщо ﮮAOE = 140°;
Якщо промені ОВ, ОС, ОD проходить між сторонами кута АОЕ, тоді справедлива основна властивість вимірювання кутів ﮮAOЕ = ﮮAOВ + ﮮВOС + ﮮCOD + ﮮDOE,
перегрупуємо доданки ﮮAOЕ = ﮮAOВ + ﮮDOE + ﮮBOC + ﮮCOD.
Оскільки ﮮAOB = ﮮBOC, ﮮCOD = ﮮDOE, тоді ﮮAOЕ = 2 • (ﮮBOC + ﮮCOD) = 2 • ﮮBOD
ﮮBOD = ﮮAOE : 2 = 140° : 2 = 70°
Відповідь: ﮮBOD = 70°
2) ﮮAOB, якщо ﮮBOD = 73°.
Якщо промені ОВ, ОС, ОD проходить між сторонами кута АОЕ, тоді справедлива основна властивість вимірювання кутів ﮮAOЕ = ﮮAOВ + ﮮВOС + ﮮCOD + ﮮDOE,
перегрупуємо доданки ﮮAOЕ = ﮮAOВ + ﮮDOE + ﮮBOC + ﮮCOD.
Оскільки ﮮAOB = ﮮBOC, ﮮCOD = ﮮDOE, тоді ﮮAOЕ = 2 • (ﮮBOC + ﮮCOD) = 2 • ﮮBOD = 2 • 73° = 146°
Відповідь: ﮮAOB = 146°
Вправа 87
ﮮAOB = 168°, промінь OM проходить між його сторонами. ﮮAOM : ﮮMOB = 3 : 4. Знайдіть ці кути.
Якщо промінь ОМ проходить між сторонами кута АОВ, тоді справедлива основна властивість вимірювання кутів ﮮAOB = ﮮAOM + ﮮMOB.
168 : 7 = 24 (°) – припадає на 1 частину кута AOB.
24 • 3 = 72 (°) – градусна міра кута AOM.
24 • 4 = 96 (°) – градусна міра кута MOB.
Відповідь: ﮮАОМ = 72°, ﮮМОВ = 96°