Серія "Вчимось разом" до підручника "Геометрія 7 клас Істер О."
(умови завдань з підручника подані чорним кольором)
§ 14 Рівнобедрений трикутник
Завдання 344 Малюнок 14.3
Знайдіть периметр рівнобедреного трикутника.
У трикутнику АВС сторони АВ = 4 см, ВС = 4 см, АС = 6 см. АВ = ВС. За означенням ∆АВС – рівнобедрений.
Р = 4 + 4 + 6 = 14 (см)
У трикутнику РКМ сторони РК = 4 см, КМ = 5 см, РМ = 6 см. За означенням ∆АВС – різносторонній.
У трикутнику FCK сторони FC = 4 см, CK = 4 см, FK = 4 см. FC = CK = FK. За означенням ∆FCK – рівносторонній.
Завдання 345 Малюнок 14.4
Укажіть основу та бічні сторони рівнобедреного трикутника DTP. Що можна сказати про кути T і P цього трикутника?
У трикутнику TDP дві сторони рівні TD = DP. За означенням ∆TDP – рівнобедрений, TP – основа, TD і DP – бічні сторони. За властивістю рівнобедреного трикутника кути при основі ∠T = ∠P.
Завдання 346
Один з кутів при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 70°. Знайдіть другий кут при основі цього трикутника.
За властивістю рівнобедреного трикутника кути при основі рівні, тому другий кут дорівнює 70°.
Відповідь: 70°.
Завдання 347
Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 9 см, ще одна сторона – 6 см. Яка довжина третьої сторони?
За означенням рівнобедреного трикутника його бічні сторони рівні, тому друга бічна сторона дорівнює 6 см.
Відповідь: 6 см.
Завдання 348
∆ABC – рівносторонній, AB = 12 см. Знайдіть його периметр.
Короткий запис
Р — це 3 сторони по 12 см
За означенням рівностороннього трикутника його сторони рівні.
Р = АВ • 3 = 12 • 3 = 36 (см).
Відповідь: периметр трикутника 36 см.
Завдання 349
Периметр рівностороннього трикутника ABC дорівнює 18 см. Знайдіть довжину сторони BC цього трикутника.
Короткий запис
Периметр — 16 см — це 3 сторони по ? см
∆ABC – рівносторонній, тоді АВ = ВС = АС.
1) 18 : 3 = 6 (см) – довжина сторони рівностороннього трикутника.
Відповідь: довжина сторони рівностороннього трикутника 6 см.
Завдання 350
Знайдіть периметр рівнобедреного трикутника, бічна сторона якого дорівнює 7 см, а основа на 2 см менша від бічної сторони.
Короткий запис
Бічні — 2 сторони по 7 см
Основа — ?, на 2 см менша
Р — ?
Розв’язання
1) 7 – 2 = 5 (см) – довжина основи рівнобедреного трикутника.
2) Р = 7 • 2 + 5 = 19 (см) – периметр рівнобедреного трикутника.
Відповідь: периметр дорівнює 19 сантиметрів.
Завдання 351
Знайдіть периметр рівнобедреного трикутника, основа якого дорівнює 8 см, а бічна сторона на 4 см більша за основу.
Короткий запис
Бічні — 2 сторони по 8 см
Основа — ?, на 4 см більша
Р — ?
Розв’язання
1) 8 + 4 = 12 (см) – довжина основи рівнобедреного трикутника.
2) Р = 8 • 2 + 12 = 28 (см) – периметр рівнобедреного трикутника.
Відповідь: периметр дорівнює 28 сантиметрів.
Завдання 352
Чи може бути рівнобедреним трикутник, усі кути якого різні? Відповідь обґрунтуйте.
За означенням рівнобедреного трикутника у нього дві сторони рівні. Якщо всі сторони різні, тоді його класифікуємо до різносторонніх трикутників.
Завдання 353
Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 20 см, а бічна сторона – 7 см. Знайдіть основу трикутника.
Короткий запис
Бічні — 2 сторони по 7 см
Основа — ?
Р — 20 см
Розв’язання
Бічні сторони рівнобедреного трикутника рівні.
1) 7 • 2 = 14 (см) – довжина двох бічних сторін разом.
2) Р = 20 – 14 = 6 (см) – довжина основи рівнобедреного трикутника.
Відповідь: довжина основи 6 сантиметрів.
Завдання 354
Периметр рівнобедреного трикутника AMN з основою MN дорівнює 18 дм. Знайдіть довжину основи MN, якщо AM = 7 дм.
Короткий запис
Бічні — 2 сторони по 7 дм
Основа — ?
Р — 18 дм
Розв’язання
MN – основа рівнобедреного трикутника. Бічні сторони AN = AM.
1) 7 • 2 = 14 (дм) – довжина двох бічних сторін разом.
2) 18 – 14 = 4 (дм) – довжина основи.
Відповідь: довжина основи 4 дециметри.
Завдання 355
Периметр рівнобедреного трикутника ACD з бічними сторонами AC і AD дорівнює 30 дм. Знайдіть довжину бічної сторони, якщо CD = 12 дм.
Короткий запис
Бічні — 2 сторони по ? см
Основа — 12 дм
Р — 30 дм
Розв’язання
СD – основа рівнобедреного трикутника. Бічні сторони AC = AD.
1) 30 – 12 = 18 (дм) – сума двох бічних сторін.
2) 18 : 2 = 9 (дм) – довжина бічної сторони.
Відповідь: довжина бічної сторони 9 дециметрів.
Завдання 356
Знайдіть бічну сторону рівнобедреного трикутника, якщо його периметр дорівнює 17 см, а основа – 5 см.
Короткий запис
Бічні — 2 сторони по ? см
Основа — 5 см
Р — 17 см
Розв’язання
1) 17 – 5 = 12 (см) – сума двох бічних сторін.
2) 12 : 2 = 6 (см) – довжина бічної сторони.
Відповідь: довжина бічної сторони 6 сантиметрів.
Завдання 357 Малюнок 14.5
∆ABC – рівнобедрений з основою AB. Доведіть, що ∠KAC = ∠MBC.
Сума суміжних кутів дорівнює 180°.
∠КАВ = 180 = ∠KAC + ∠CAB, ∠ABM = 180 = ∠ABC + ∠CBM = 180°.
∠KAC + ∠CAB = ∠СВА + ∠МВС,
∆ABC – рівнобедрений з основою AB, тоді за властивістю рівнобедреного трикутника ∠САВ = ∠CВА, отже, ∠KAC = ∠MBC
Завдання 358 Малюнок 14.6
∆KLM – рівнобедрений з основою KL. Доведіть, що ∠MKL = ∠PLN.
За властивістю рівнобедреного трикутника при основі KL кути ∠MKL = ∠МLК.
Кути MKL і PLN вертикальні, тому ∠MLК = ∠PLN. Отже, ∠MKL = ∠PLN.
Завдання 359
1) будь-який рівносторонній трикутник є рівнобедреним (істинне, якщо три сторони рівні, тоді дві із них рівні);
2) будь-який рівнобедрений трикутник є рівностороннім (хибне, якщо дві сторони рівні, тоді три сторони можуть бути різними);
Завдання 360
Знайдіть сторони рівнобедреного трикутника, якщо його периметр дорівнює 14 см і він більший за суму двох бічних сторін на 6 см.
Розв’язання
1) Якщо периметр на 6 см більший за суму бічних сторін, тоді основа дорівнює 6 см.
2) 14 – 6 = 8 (см) – сума бічних сторін.
3) 8 : 2 = 4 (см) – кожна бічна сторона.
Відповідь: 4 см, 4 см, 6 см.
Завдання 361
Знайдіть сторони рівнобедреного трикутника, якщо його периметр 44 см, а бічна сторона на 4 см більша за основу.
Нехай х (см) – основа, тоді х + 4 (см) – бічна сторона. Складемо рівняння.
х + 2 • (х + 4) = 44
х + 2х + 8 + 44
3х = 44 – 8
3х = 36
х = 36 : 3
х = 12 (см) – довжина основи.
х + 4 = 12 + 4 = 16 (см) – довжина кожної бічної сторони.
Відповідь: 16 см, 16 см, 12 см.
Завдання 362
Знайдіть сторони рівнобедреного трикутника, якщо його периметр дорівнює 35 дм, а основа вдвічі менша від бічної сторони.
Нехай х (дм) – основа, тоді 2х (дм) – бічна сторона. Складемо рівняння.
х + 2 • 2х = 35
х + 4х = 35
5х = 35
х = 35 : 5
х = 7 (дм) – довжина основи.
2х = 2 • 7 = 14 (дм) – довжина кожної бічної сторони.
Відповідь: 14 дм, 14 дм, 7 дм.
Завдання 363 Малюнок 14.7
На бічних сторонах AB і BC рівнобедреного трикутника ABC позначено точки K і L так, що AK = LC. Доведіть, що AL = KC.
За умовою ∆АВС – рівнобедрений з основою АС, за властивістю рівнобедреного трикутника ∠КАС = ∠LCA.
АС – спільна сторона трикутників АКС і СLА, за умовою AK = LC. Трикутники рівні за першою ознакою ∆АКС = ∆СLА, отже, AL = KC.
Завдання 364 Малюнок 14.7
На бічних сторонах AB і BC рівнобедреного трикутника ABC позначено точки K і L так, що ∠KCA = ∠LAC. Доведіть, що відрізки AK і CL рівні.
За умовою ∆АВС – рівнобедрений трикутник, ∠KАС = ∠LCА.
АС – спільна сторона трикутників АКС і СLА, за умовою ∠KCA = ∠LAC. За другою ознакою рівності трикутників ∆АКС = ∆СLА, отже, AК = CL.
Завдання 365 Малюнок 14.8
Сторони рівностороннього трикутника ABC продовжено на рівні відрізки AK, BL і CM. Доведіть, що ∆KLM – рівносторонній.
За умовою ∆АВС – рівносторонній, тоді АВ = ВС = СА, ∠АВС = ∠ВСА = ∠САВ.
Для суміжних кутів ∠КАВ = 180° = ∠КАМ + CAB, ∠LBC = 180° = ∠LBK + ∠ABC, ∠ACM = 180° = ∠LCM + ∠BCA, тоді ∠КАМ = ∠LBK = ∠LCM. За першою ознакою рівності трикутників ∆BKL = ∆CLM = ∆AMK, KL = LM = MK. Отже, ∆KLM – рівносторонній трикутник.
Завдання 366 Малюнок 14.9
На сторонах рівностороннього трикутника ABC відкладено рівні відрізки AP, BK і CL. Доведіть, що ∆PKL – рівносторонній.
За умовою ∆АВС – рівносторонній, тоді АВ = ВС = СА, ∠АВС = ∠ВСА = ∠САВ.
За умовою AP = BK = CL. За властивістю вимірювання відрізків ВС = ВК + КС, СА = СL + LA, AB = AP + PB. Якщо рівні ліві частини, тоді рівні праві частини КС = LA = PB.
За першою ознакою рівності трикутників ∆PBK = ∆KCL = ∆LAP, тоді PK = KL = LP. Отже, ∆PKL – рівносторонній трикутник.
Завдання 367
Доведіть, що з двох суміжних кутів хоча б один не більший за 90°.
Сума суміжних кутів дорівнює 180°, тоді рівні кути 180° : 2 = 90°, інакше для такої суми один кут буде гострим, а інший – тупим.
Завдання 368 Малюнок 14.10
Відрізки AC і BD перетинаються в точці O так, що ∆AOB = ∆COD. Точка K належить відрізку AB, а точка L – відрізку DC, причому KL проходить через точку O. Доведіть, що KO = OL і KB = DL.
За умовою ∆AOB = ∆COD, тоді АО = ОС, ОВ = ОD, ∠А = ∠С, ∠В = ∠D.
Оскільки KL проходить через точку О, відрізки AC, BD і КL перетинаються у спільній точці О, тоді вертикальні кути ∠АОК = ∠COL. За другою ознакою рівності трикутників ∆AOK = ∆COL, тому КО = OL. Також рівні вертикальні кути ∠BOK = ∠DOL. За другою ознакою рівності трикутників ∆BOK = ∆DOL, тому КD = DL. Отже, KO = OL і KB = DL.
Завдання 369
На відрізку AB = 48 см позначено точку K так, що 5AK = 7BK. Знайдіть довжини відрізків AK і BK.
За властивістю вимірювання відрізків АВ = АК + ВК.
АК : BK = 7 : 5
Нехай х (см) – довжина 1 частини, тоді 7х (см) – довжина АК, 5х (см) – довжина ВК. Складемо рівняння.
7х + 5х = 48
12х = 48
х = 48 : 12
х = 4
7х = 7 • 4 = 28 (см) – довжина АК.
5х = 5 • 4 = 20 (см) – довжина ВК.
Відповідь: АК = 28 см, ВК = 20 см.
Життєва математика
Завдання 370
Одне дерево очищає за рік зону у формі прямокутного паралелепіпеда 100 м завдовжки, 12 м завширшки, 10 м заввишки. Обчисліть, скільки кубічних метрів повітря очистять від автомобільних вихлопних газів 200 каштанів, посаджених уздовж дороги.
Короткий запис
Довжина — 100 м
Ширина — 12 м
Висота — 10 м
V — ? м3
1) 100 • 12 • 10 = 12 000 (м3) – об’єм повітря очищає 1 дерево.
Короткий запис
1 д. — 12 000 м3
200 д. — ? м3
2) 12 000 • 200 = 2 400 000 (м3) – об’єм повітря очистять 200 каштанів.
Відповідь: очистять 2 400 000 м3 повітря.
Завдання 371
1) НОСУК — конус, сукно;
2) ТСОРЕК — сектор, корсет.