Геометрія 7 клас прямокутні трикутники, властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників Істер відповіді

Серія "Вчимось разом" до підручника "Геометрія 7 клас Істер О."

(умови завдань з підручника подані чорним кольором)

§19 Прямокутні трикутники, властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників

Завдання 494 Малюнок 19.2

1) Зображений трикутник KNM з прямим кутом N називають прямокутним (трикутник, у якого один кут прямий, називають прямокутним).

2) МК – гіпотенуза, KN і NM – катети.

3) Гіпотенуза більша за будь-який катет.

Завдання 495 Малюнок 19.3

1) У прямокутному трикутнику PFL із прямим кутом L маємо РF – гіпотенуза, РL і LF – катети.

2) Яка сторона довша: PL чи PF; LF чи PF?

Гіпотенуза РF більша за катет PL, тому PL < PF.

Гіпотенуза РF більша за катет LF, тому LF < PF.

Завдання 496

На малюнку 19.4 прямокутні трикутники рівні за катетами.

На малюнку 19.5 прямокутні трикутники рівні за катетом і прилеглим кутом.

Завдання 497

1) За якими елементами є рівними прямокутні трикутники на малюнку 19.6. Запишіть відповідні рівності.

Трикутники СМК і ВАР – прямокутні. Гіпотенузи СМ = ВА = 7 см, ∠С = ∠В = 55°. За гіпотенузою і гострим кутом ∆СМК = ∆ВАР.

2) За якими елементами є рівними прямокутні трикутники на малюнках 19.7. Запишіть відповідні рівності.

Гіпотенузи DF = QN, катети EF = LN. За гіпотенузою і катетом ∆DEF = ∆QLN.

Завдання 498

1) Знайдіть гострий кут прямокутного трикутника, якщо інший його гострий кут дорівнює 18°.

Згідно властивості гострих кутів прямокутного трикутника (сума гострих кутів такого трикутника дорівнює 90°) можна записати 90° – 18 ° = 72°.

Відповідь: 72°.

2) Знайдіть гострий кут прямокутного трикутника, якщо інший його гострий кут дорівнює 87°.

Згідно властивості гострих кутів прямокутного трикутника можна записати 90° – 87° = 3°.

Відповідь: 3°.

Завдання 499

1) Знайдіть гострий кут прямокутного трикутника, якщо інший його гострий кут дорівнює 75°.

Згідно властивості гострих кутів прямокутного трикутника можна записати 90° – 75° = 15°.

Відповідь: 15°.

2) Знайдіть гострий кут прямокутного трикутника, якщо інший його гострий кут дорівнює 23°.

Згідно властивості гострих кутів прямокутного трикутника можна записати 90° – 23° = 67°.

Відповідь: 67°.

Завдання 500

Знайдіть кути рівнобедреного прямокутного трикутника.

У прямокутного рівнобедреного трикутника кут при вершині прямий, а прилеглі до основи кути рівні. Застосовуємо теорему про суму кутів трикутника.

1) 180 – 90 = 90 (°) – сума кутів при основі.

2) 90 : 2 = 45 (°) – кут при основі.

Відповідь: 45°, 45°, 90°.

Завдання 501

У рівнобедреному трикутнику один з кутів при основі дорівнює 45°. Чи можна стверджувати, що цей трикутник прямокутний?

У рівнобедреному трикутнику АВС кути при основі рівні, нехай ∠А = ∠В = 45°. Щоб знайти кут С при вершині, застосуємо теорему про суму кутів трикутника, тому ∠С = 180° – (∠А + ∠В) = 180° – (45° + 45°) = 90°. Отже, такий рівнобедрений трикутник є прямокутним.

Завдання 502

1) У прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°) ∠A = 30°. Знайдіть BC, якщо AB = 14 см.

У трикутнику АВС проти кута ∠С = 90° лежить гіпотенуза АВ. Проти кута ∠А = 30° лежить катет ВС, тому ВС = 1/2 АВ = 14 см : 2 = 7 см (катет проти кута 30° дорівнює половині гіпотенузи).

Відповідь: 7 см.

2) У прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°) ∠A = 30°. Знайдіть AB, якщо BC = 5 дм.

У трикутнику АВС проти кута ∠С = 90° лежить гіпотенуза АВ.

Проти кута ∠А = 30° лежить катет ВС, тому ВС = 1/2 АВ.

Звідси АВ = ВС • 2 = 5 дм • 2 = 10 дм

Відповідь: 10 дм.

Завдання 503 Малюнок 19.9

1) У прямокутному трикутнику PFL (∠F = 90°) ∠L = 30°. Знайдіть PF, якщо PL = 12 дм.

У трикутнику PFL проти кута ∠F = 90° лежить гіпотенуза PL. Проти кута ∠L = 30° лежить катет PF, тому PF = 1/2 PL = 12 дм : 2 = 6 дм.

Відповідь: 6 дм.

2) У прямокутному трикутнику PFL (∠F = 90°) ∠L = 30°. Знайдіть PL, якщо PF = 4 см.

У трикутнику PFL проти кута ∠F = 90° лежить гіпотенуза PL. Проти кута ∠L = 30° лежить катет PF, тому PF = 1/2 PL. Звідси PL = PF • 2 = 4 см • 2 = 8 см.

Відповідь: 8 см.

Завдання 504 Малюнок 19.10

BK – висота трикутника ABC. Знайдіть кути трикутника ABC, якщо ∠ABK = 36°, ∠KBC = 64°.

За умовою ВК – висота трикутника АВС, тому ∠ВКА = ∠ВКС = 90°.

За властивістю вимірювання кутів ∠АВС = ∠АВК + ∠КВС = 36° + 64° = 100°.

Трикутник АВК – прямокутний. За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника ∠ВАК = 90° – ∠АВК = 90° – 36° = 54°. Точка К належить стороні АС, тому ∠ВАК = ∠ВАС.

Трикутник СКВ – прямокутний. За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника ∠ВСК = 90° – ∠КВС = 90° – 64° = 26°. Точка К належить стороні АС, тому ∠ВСК = ∠ВСА.

Відповідь: 26°, 54°, 100°.

Завдання 505 Малюнок 19.11

KLM – рівнобедрений трикутник з основою KM, LN – його медіана. Знайдіть кути трикутника KLM, якщо ∠KLN = 31°.

За умовою, LN – медіана рівнобедреного трикутника є висотою і бісектрисою, тому ∠KNL = ∠MNL = 90° і бісектрисою ∠KLN = ∠MLN, тобто ∠KLM = 2∠KLN = 31° • 2 = 62°.

Для прямокутного трикутника KLN за властивістю гострих кутів можна записати ∠LKN = 90° – ∠KLN = 90° – 31° = 59°. Оскільки точка N належить КМ, тому ∠LKN = ∠LKM. За умовою трикутник рівнобедрений, тому ∠LKM = ∠LMK = 59°.

Відповідь: 59°, 59°, 62°.

Завдання 506 Малюнок 19.12

AB ﬩ AC, KL ﬩ CK, BC = CL. Доведіть, що ∆ABC = ∆KLC.

За умовою AB ﬩ AC і KL ﬩ CK, тому ∠ВАС = 90°, ∠LKC = 90°, трикутники АВС і KLC – прямокутні. Гіпотенузи ВС = CL. Вертикальні кути рівні ∠ВСА = ∠LCK. Отже, за гіпотенузою і гострим кутом прямокутні трикутники ∆ABC = ∆KLC, що треба було довести.

Завдання 507 Малюнок 19.13

MK ﬩ PL, ∠PMK = ∠LMK. Доведіть, що ∆MPK = ∆MLK.

За умовою MK ﬩ PL, тому ∠РКМ = ∠LKM = 90°, трикутники MPK і MLK – прямокутні.

МК – спільний катет трикутників. За умовою прилеглі до цього катета гострі кути ∠PMK = ∠LMK. Отже, за катетом і прилеглим гострим кутом прямокутні трикутники ∆MPK = ∆MLK, що треба було довести.

Завдання 508

1) У трикутнику ABC кут C – прямий. Знайдіть градусні міри кутів A і B, якщо кут A на 28° більший за кут B.

Маємо прямокутний трикутник АВС. Нехай х (°) – градусна міра гострого кута В, х + 28(°) – градусна міра гострого кута А. Складемо рівняння згідно властивості про гострі кути прямокутного трикутника.

х + х + 28 = 90

2х + 28 = 90

2х = 90 – 28

2х = 62

х = 62 : 2

х = 31 (°) – ∠В (О).

х + 28 = 31 + 28 = 59 (°) – ∠А (Т).

Відповідь: ∠В = 31°, ∠А = 59°.

2) У трикутнику ABC кут C – прямий. Знайдіть градусні міри кутів A і B, якщо кут A у 5 разів менший від кута B.

Маємо прямокутний трикутник АВС. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°.

Нехай х (°) – градусна міра кута А, 5х (°) – градусна міра кута В. Складемо рівняння.

х + 5х = 90

6х = 90

х = 90 : 6

х = (60 + 30) : 6

х = 15 (°) – ∠А (К).

5х = 15 • 5 = 75 (°) – ∠В (Н).

Відповідь: ∠А = 15°, ∠В = 75°.

3) У трикутнику ABC кут C – прямий. Знайдіть градусні міри кутів A і B, якщо ∠A : ∠B = 2 : 3.

Маємо прямокутний трикутник АВС.

Нехай х (°) – градусна міра одної частини, тоді 2х (°) – градусна міра кута А, 3х (°) – градусна міра кута В. Складемо рівняння згідно властивості про гострі кути прямокутного трикутника.

2х + 3х = 90

5х = 90

х = 90 : 5

х = (50 + 40) : 5

х = 18 (°) – градусна міра одної частини.

2х = 18 • 2 = 36 (°) – ∠А (Е).

3х = 18 • 3 = 54 (°) – ∠В (С).

Відповідь: ∠А = 36°, ∠В = 54°.

Хто з відомих українців має таке прізвище: українська поетеса Ліна Костенко.

15°	31°	54°	59°	36°	75°	15°	31°
К	О	С	Т	Е	Н	К	О

Завдання 509

1) Знайдіть гострі кути прямокутного трикутника, якщо один з них у 4 рази більший за другий.

Нехай х (°) – градусна міра одного гострого кута, 4х (°) – градусна міра іншого гострого кута. Складемо рівняння за властивістю про гострі кути прямокутного трикутника.

х + 4х = 90

5х = 90

х = 90 : 5

х = (50 + 40) : 5

х = 18 (°) – один гострий кут.

4х = 18 • 4 = (10 + 8) • 4 = 72 (°) – другий гострий кут.

Відповідь: 18°, 72°.

2) Знайдіть гострі кути прямокутного трикутника, якщо один з них на 16° менший від другого.

Нехай х (°) – градусна міра меншого гострого кута, тоді х + 16 (°) – градусна міра більшого гострого кута. Складемо рівняння за властивістю про гострі кути прямокутного трикутника.

х + х + 16 = 90

2х + 16 = 90

2х = 90 – 16

2х = 74

х = 74 : 2

х = (60 + 14) : 2

х = 37 (°) – один гострий кут.

х + 16 = 37 + 16 = 53 (°) – другий гострий кут.

Відповідь: 37°, 53°.

3) Знайдіть гострі кути прямокутного трикутника, якщо їхні градусні міри відносяться як 5 : 4.

Нехай х (°) – градусна міра одної частини, тоді 5х (°) – градусна міра одного гострого кута, 4х (°) – градусна міра іншого гострого кута. Складемо рівняння за властивістю про гострі кути прямокутного трикутника.

5х + 4х = 90

9х = 90

х = 90 : 9

х = 10 (°) – градусна міра частини.

5х = 10 • 5 = 50 (°) – один гострий кут.

4х = 10 • 4 = 40 (°) – другий гострий кут.

Відповідь: 40°, 50°.

Завдання 510

Знайдіть менший з кутів, що утворює бісектриса прямого кута трикутника з гіпотенузою, якщо один з гострих кутів трикутника дорівнює 26°.

За умовою ∠В = 26°, СК – бісектриса прямого кута С, тоді ∠КСВ = ∠АСВ : 2 = 90° : 2 = 45°. За теоремою про суму кутів трикутника ∠СКВ = 180° – ∠В – ∠КСВ = 180° – 26° – 45° = 109° – більший з кутів перетину. За теоремою про суміжні кути ∠АКС = 180° – ∠СКВ = 180° – 109° = 71° – менший з кутів перетину бісектриси кута з гіпотенузою.

Відповідь: 71°.

Завдання 511

Знайдіть більший з кутів, що утворює бісектриса прямого кута трикутника з гіпотенузою, якщо один з гострих кутів трикутника дорівнює 68°.

За умовою ∠В = 68°, СК – бісектриса прямого кута С, тоді ∠КСВ = ∠АСВ : 2 = 90° : 2 = 45°. За теоремою про суму кутів трикутника ∠СКВ = 180° – ∠В – ∠КСВ = 180° – 68° – 45° = 67° – менший із кутів перетину. За теоремою про суміжні кути ∠АКС = 180° – ∠СКВ = 180° – 67° = 113° – більший з кутів перетину бісектриси кута з гіпотенузою.

Відповідь: 113°.

Завдання 512

Доведіть, що точка, яка лежить у внутрішній області кута і рівновіддалена від його сторін, належить бісектрисі цього кута.

З точки Х опустимо перпендикуляри до сторін кута ХM ﬩ BA, XN ﬩ BC За умовою точка Х рівновіддалена від сторін кута АВС, тому перпендикуляри, опущені з точки до сторін, рівні ХМ = ХN, ∠ВМХ = ∠BNX = 90°.

Проведемо відрізок MN. Трикутник MXN – рівнобедрений, за властивістю рівнобедреного трикутника кути при основі ∠NMX = ∠MNX.

За основною властивістю вимірювання кутів ∠BMX = ∠BMN + ∠NMX, ∠BNX = ∠BNM + ∠MNX, якщо рівні ліві частини, тоді рівні праві ∠BMN = ∠BNM. Трикутник MBN – рівнобедрений за ознакою рівнобедреного трикутника (за двома рівними кутами), тому сторони BM = BN. Прямокутні трикутники ∆BMX = ∆BNX (за двома катетами). У рівних трикутників рівні відповідні кути ∠MBX = ∠NBX, звідси ВХ – бісектриса кута АВС. Отже, точка Х належить бісектрисі, що треба було довести.

Завдання 513

Кут між висотою прямокутного трикутника, проведеною до гіпотенузи, і одним з катетів дорівнює 32°. Знайдіть гострі кути трикутника.

За умовою ∠С = 90°, ∠КСВ = 32°, СК – висота трикутника АВС до гіпотенузи АВ, тоді СК ﬩ АВ. Трикутник СКВ – прямокутний. За властивістю про гострі кути прямокутного трикутника ∠В = 90° – ∠СКВ = 90° – 32° = 58°.

Розглянемо трикутник АВС. За властивістю про гострі кути прямокутного трикутника ∠А = 90° – ∠В = 90° – 58° = 32°.

Відповідь: 32°, 58°.

Завдання 514

Один з кутів, утворених при перетині бісектрис прямого і гострого кутів трикутника, дорівнює 115°. Знайдіть гострі кути цього трикутника.

∠АОС = 115°, СК – бісектриса прямого кута С, тоді ∠АСК = ∠С : 2 = 90° : 2 = 45°. Для трикутника САО за теоремою про суму кутів ∠САО = 180° – ∠АСК – ∠АОС = 180° – 45° – 115° = 20°. АР – бісектриса кута А, тоді ∠А = 2∠САО = 20° • 2 = 40°. Для трикутника АВС за властивістю про гострі кути прямокутного трикутника ∠В = 90° – ∠А = 90° – 40° = 50°.

Відповідь: 40°, 50°.

Завдання 515

Доведіть, що два рівнобедрених трикутники рівні, якщо відповідно рівні їхні бічні сторони і висоти, проведені до основ.

За умовою АВ = А₁В₁. За означенням рівнобедрених трикутників АВ = ВС, А₁В₁ = В₁С₁, оскільки рівні ліві частини, тоді рівні праві частини ВС = В₁С₁.

ВК – висота трикутника АВС, ВК ﬩ АС. В₁К₁ – висота трикутника А₁В₁С₁, В₁К₁ ﬩ А₁С₁. Розглянемо прямокутні трикутники АКВ і А₁К₁В₁. Гіпотенузи АВ = А₁В₁, за умовою катети ВК = В₁К₁, тоді ∆АКВ = ∆А₁К₁В₁ (за катетом і гіпотенузою), отже АК = А₁К₁.

Трикутники АВС і А₁В₁С₁ – рівнобедрені, тоді АС = 2АК, А₁С₁ = 2А₁К₁ (висота є медіаною). Якщо рівні ліві частини, тоді рівні праві частини рівностей, маємо АС = А₁С₁.

Отже, АВ = А₁В₁, ВС = В₁С₁, АС = А₁С₁, за третьою ознакою рівності трикутників ∆АВС = ∆А₁В₁С₁, що треба було довести.

Завдання 516

У прямокутному трикутнику один з кутів дорівнює 60°, а сума гіпотенузи і меншого катета – 30 см. Знайдіть довжину гіпотенузи та медіани, що проведена до неї.

Проти меншого катета знаходиться менший кут 90° – 60° = 30°. У прямокутному трикутнику катет проти кута 30° дорівнює половині гіпотенузи.

Нехай х (см) – менший катет, тоді 2х (см) – гіпотенуза. Складемо рівняння.

х + 2х = 30

3х = 30

х = 30 : 3

х = 10 (см) – менший катет.

2х = 10 • 2 = 20 (см) – гіпотенуза.

У прямокутному трикутнику медіана, яка проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи.

20 : 2 = 10 (см) – медіана, проведена до гіпотенузи.

Відповідь: 20 см, 10 см.

Завдання 517

У прямокутному трикутнику гострий кут дорівнює 60°, а бісектриса цього кута – 4 см. Знайдіть довжину катета, що лежить проти цього кута.

Трикутник АВС – прямокутний, ∠С = 90°, ∠САB = 60°, тоді ∠В = 90° – ∠САВ = 90° – 60° = 30° (за властивістю гострих кутів прямокутного трикутника).

АР – бісектриса кута А, ∠САР = ∠РАВ = ∠САВ : 2 = 60° : 2 = 30°.

Трикутник АВР – рівнобедрений (за ознакою два кути рівні), тому за означенням такого трикутника АР = РВ = 4 см.

У прямокутному трикутнику САР гіпотенуза АР, катет СР лежить проти кута ∠САР = 30°, тому СР = АР : 2 = 4 см : 2 = 2 см.

За властивістю вимірювання відрізків катет СВ = СР + РВ = 2 см + 4 см = 6 см.

Відповідь: 6 см.

Завдання 518

Різниця градусних мір двох зовнішніх кутів при вершинах гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 20°. Знайдіть гострі кути трикутника.

У прямокутному трикутнику один прямий кут і два гострих. Сума суміжних кутів дорівнює 180°.

Нехай х (°) – зовнішній кут при гострому куті, 180 – х (°) – суміжний із ним гострий кут, тоді х + 20 (°) – інший зовнішній кут при гострому куті, 180 – (х + 20) = 160 – х (°) – суміжний з ним гострий кут.

Складемо рівняння за властивістю про гострі кути прямокутного трикутника.

(180 – х) + (160 – х) = 90

180 – х + 160 – х = 90

340 – 2х = 90

340 – 90 = 2х

2х = 250

х = 250 : 2

х = (200 + 40 + 10) : 2

х = 125 (°) – зовнішній кут.

180 – 125 = 55 (°) – суміжний внутрішній гострий кут.

160 – х = 160 – 125 = 35 (°) – інший внутрішній гострий кут.

Відповідь: 35°, 55°.

Завдання 519

Знайдіть градусні міри гострих кутів прямокутного трикутника, якщо градусні міри їхніх зовнішніх кутів відносяться як 2 : 3.

Нехай х (°) – одна частина зовнішніх кутів, 2х (°) – зовнішній кут одного гострого кута трикутника, тоді 180 – 2х (°) – суміжний з ним гострий кут трикутника; а 3х (°) – зовнішній кут іншого гострого кута трикутника, тоді 180 – 3х (°) – суміжний йому гострий кут трикутника.

Складемо рівняння за властивістю гострих кутів прямокутного трикутника.

(180 – 2х) + (180 – 3х) = 90

180 – 2х + 180 – 3х = 90

360 – 5х = 90

360 – 90 = 5х

5х = 270

х = 270 : 5

х = (250 + 20) : 5

х = 54 (°) – частина зовнішнього кута.

180 – 2х = 180 – 54 • 2 = 72 (°) – один гострий кут.

180 – 3х = 180 – 54 • 3 = 18 (°) – другий гострий кут.

Відповідь: 18°, 72°.

Вправи для повторення

Завдання 520

Доведіть, що коли медіана трикутника ділить його на два трикутники з однаковими периметрами, то хоча б два кути трикутника між собою рівні.

За умовою Р_ВАМ = Р_САМ, АМ – медіана до сторони ВС, тоді МВ = МС.

Р_ВАМ= АВ + МВ + АМ, Р_САМ= АС + МС + АМ, звідси АВ + МВ + АМ = АС + МС + АМ,

АВ = АС + МС + АМ – АМ – МВ = АС, за означенням трикутник АВС – рівнобедрений. За властивістю рівнобедреного трикутника його кути при основі ∠В = ∠С, що треба було довести.

Завдання 521

Один з кутів трикутника на 20° менший від другого і втричі менший від третього. Знайдіть кожний з кутів трикутника.

^{Короткий запис}

^{І кут — ?}

^{ІІ кут — на 20°}

^{ІІІ кут — у 3 рази більший}

^{Всього — 180°}

Сума кутів трикутника дорівнює 180°.

Нехай х (°) – один кут, тоді х + 20 (°) – другий кут, 3х (°) – третій кут. Складемо рівняння.

х + х + 20 + 3х = 180

5х + 20 = 180

5х = 180 – 20

5х = 160

х = 160 : 5

х = (150 + 10) : 5

х = 32 (°) – один кут.

х + 20 = 32 + 20 = 52 (°) – другий кути.

3х = 32 • 3 = 96 (°) – третій кут.

Відповідь: 32°, 52°, 96°.

Завдання 522

У рівнобедреному трикутнику основа більша за бічну сторону на 3 см, але менша від суми бічних сторін на 4 см. Знайдіть периметр цього трикутника.

Нехай х (см) – бічна сторона, тоді х + х (см) – їхня сума, а х + 3 (см) – основа. Складемо рівняння.

(х + х) – (х + 3) = 4

х + х – х – 3 = 4

х – 3 = 4

х = 4 + 3

х = 7 (см) – бічна сторона рівнобедреного трикутника.

х + 3 = 7 + 3 = 10 (см) – основа у рівнобедреному трикутнику.

Р = 7 • 2 + 10 = 14 + 10 = 24 (см) – периметр.

Відповідь: 24 сантиметри.

Життєва математика

Завдання 523

1 м² лінолеуму коштує 130 грн. Виміряйте розміри однієї з кімнат (4 х 5 м) та знайдіть площу цієї кімнати. Скільки потрібно заплатити за лінолеум для цієї кімнати?

^{Короткий запис}

^{а — 5 м}

^b^{— 4 м}

^{S — ? м2}

1) S = 5 • 4 = 20 (м²) – площа підлоги.

^{Короткий запис}

^{1 м2 — 130 грн}

^{20 м2 — ? грн}

2) 130 • 20 = 2600 (грн) – вартість лінолеуму.

Відповідь: потрібно заплатити 2600 гривень.

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

Завдання 524