Інші завдання дивись тут...

Серія "Вчимось разом" до підручника "Геометрія 7 клас Істер О."

(умови завдань з підручника подані чорним кольором)

§ 25 Центральні та вписані кути

Завдання 696

∠3, ∠5  — вписані у коло кути.

 

Завдання 697

1) Визначте градусну міру кута, вписаного в коло, якщо відповідний йому центральний кут дорівнює 70°.

Градусна міра дуги кола дорівнює градусній мірі центрального кута, який дорівнює 70°.

Дуга, на яку спирається вписаний кут, співпадає з дугою кола центрального кута.  Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку він спирається.

70 : 2 = 35° – градусна міра вписаного кута.

Відповідь: 35°.

2) Визначте градусну міру кута, вписаного в коло, якщо відповідний йому центральний кут дорівнює 190°.

Градусна міра дуги кола дорівнює градусній мірі центрального кута, який дорівнює 190°.

Дуга, на яку спирається вписаний кут, співпадає з дугою кола центрального кута.

Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку він спирається.

190 : 2 = 95° – градусна міра вписаного кута.

Відповідь: 95°.

 

Завдання 698

1) Визначте градусну міру центрального кута, якщо градусна міра відповідного йому впи­саного кута дорівнює 20°.

Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку він спирається. Дуга, на яку спирається вписаний кут, співпадає з дугою кола і дорівнює центральному куту.

20° • 2 = 40° – градусна міра центрального кута.  

Відповідь: 40°.

2) Визначте градусну міру центрального кута, якщо градусна міра відповідного йому впи­саного кута дорівнює 100°.

Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку він спирається. Дуга, на яку спирається вписаний кут, співпадає з дугою кола і дорівнює центральному куту.

100° • 2 = 200° – градусна міра центрального кута. 

Відповідь: 200°.

 

Завдання 699

Точки A і B належать колу й лежать по один бік від хорди CD. Знайдіть ∠CAD, якщо ∠CBD = 55°.

Вписаний кут ∠CВD = 55° спирається на   ͜   CD,

вписаний кут ∠CAD також спирається на   ͜   CD.

За наслідком з теореми про вписаний кут ∠CAD = ∠CBD = 55°.

Відповідь: 55°.

 

Завдання 700

Точки A і B належать колу й лежать по різні боки від хорди MN. Доведіть, що ∠MAN + ∠MBN = 180°.

Вписаний кут MAN спирається на дугу MBN, тому ∠MAN = ½   ͜   MBN (за теоремою про вписаний кут).  

Вписаний кут MBN спирається на дугу MAN,  тому ∠MBN = ½   ͜   MAN (за теоремою про вписаний кут).  

∠MAN + ∠MBN = ½   ͜   MBN + ½   ͜   MAN = ½  ( ͜   MBN +   ͜   MBN) = ½ • 360° = 180°, отже ∠MAN + ∠MBN = 180°, що треба було довести. 

 

Завдання 701

Точки M і N належать колу й лежать по різні боки від хорди AB. Знайдіть ∠AMB, якщо ∠ANB = 70°.

Вписаний кут ∠ANB = 70° спирається на дугу  ͜   AMB. За теоремою про вписаний кут ∠ANB = ½  ͜   AMB, звідси  ͜   AMB = 2∠ANB = 2 • 70° = 140°.

   ͜   ANB = 360° –  ͜   AMB = 360° – 140° = 220°.

Вписаний кут ∠AMB спирається на  ͜   ANB. За теоремою про вписаний кут ∠AMB = ½  ͜   ANB = 220° : 2 = 110°.

Відповідь: ∠AМB = 110°.

 

Завдання 702

Точка P кола і його центр O лежать по різні боки від хорди CD. Знайдіть ∠COD, якщо ∠CPD = 126°.

∠COD – центральний кут, який утворює дугу кола  ͜   CРD, ∠CРD = 126° – вписаний, який спирається на дугу   ͜   CD.

За теоремою про вписаний кут ∠СPD = ½  ͜ СD, звідси  ͜   CD = 2∠CPD = 2 • 126° = 252°.

   ͜   CPD = 360° –  ͜   CD = 360° – 252° = 108°.

Дуга кола дорівнює градусній мірі відповідного центрального кута, тому ∠COD =   ͜   CPD  = 108°. 

Відповідь: ∠COD = 108°. 

 

Завдання 703

Точка A кола і його центр O лежать по різні боки від хорди LK. Знайдіть ∠LAK, якщо ∠LOK = 128°.

∠LOK = 128° – центральний кут, який утворює дугу кола  ͜   LАK, ∠LAK – вписаний, який спирається на дугу  ͜   LK.

Дуга кола дорівнює градусній мірі відповідного центрального кута, тому   ͜   LАК = ∠LOK = 128°. 

   ͜   LK = 360° –  ͜   LAK = 360° – 128° = 232°.

За теоремою про вписаний кут ∠LAK = ½  ͜   LK = 232° : 2 = 116°.

Відповідь: ∠LAK = 116°. 

 

Завдання 704

Хорда розбиває коло на дві дуги у відношенні 1 : 2. Знай­діть міри вписаних кутів, що спираються на ці дуги.

Сума двох дуг, на які коло розбивається хордою, дорівнює 360°.  

Нехай х (°) – градусна міра першої дуги, тоді 2х (°) – градусна міра другої дуги.

Складемо рівняння.

х + 2х = 360

3х = 360

х = 360 : 3

х = 120 (°) – перша дуга.

2х = 120 • 2 = 240 (°) – друга дуга.

За теоремою про вписаний кут він дорівнює половині градусної міри дуги, на яку він спирається.

120 : 2 = 60 (°) – перший вписаний кут.

240 : 2 = 120 (°) – другий вписаний кут.

Відповідь: 60°, 120°. 

 

Завдання 705

Хорда AB дорівнює радіусу кола. Точка C кола і його центр лежать по один бік від хорди AB. Знайдіть ∠ACB.

За умовою хорда АВ = ОА = ОВ, де ОА і ОВ – радіуси кола. Трикутник АОВ – рівносторонній (за означенням), ∠АОВ = 60°.

∠АОВ – центральний кут, його дуга кола   ͜   АВ = ∠АОВ = 60°.

Вписаний кут ∠АСВ також спирається на дугу   ͜   АВ.

За теоремою про вписаний кут ∠АСВ = ½  ͜   АВ = 60° : 2 = 30°.

Відповідь: ∠АСВ = 30°.

 

Завдання 706

Хорди AD і BC перетинаються в точці F. ∠ABC = 20°, ∠BCD = 80°. Знайдіть градусну міру кута AFB.

Вписаний кут ∠BCD = 80° спирається на дугу  ͜   BD, вписаний кут ∠DAB також спирається на дугу  ͜   BD, тому ∠DAB = ∠BCD = 80° (за наслідком з теореми про вписаний кут).  Точка F належить хорді АD, тоді ∠FAB = ∠DAB = 80°.

Точка F належить хорді ВС, тоді ∠АВF = ∠ABC = 20°.

За теоремою про суму кутів трикутника AFB знайдемо ∠AFB = 180° – (∠FAB + ∠ABF) = 180° – (80° + 20°) = 80°.

Відповідь: ∠AFB = 80°.

 

Завдання 707

Хорди AB і CD перетинаються в точці M. ∠ABC = 35°, ∠BAD = 55°. Доведіть, що хорди AB і CD взаємно перпенди­кулярні.

Вписаний кут ∠ABC = 35° спирається на дугу  ͜   CA, вписаний кут ∠CDA також спирається на дугу  ͜   CA, тому ∠CDA = ∠ABC = 35° (за наслідком з теореми про вписаний кут).  Точка M належить хорді CD, тоді ∠MDA = ∠CDA = 35°.

Точка M належить хорді AB, тоді ∠MAD = ∠BAD = 55°.

За теоремою про суму кутів трикутника AMD знайдемо ∠AMD = 180° – (∠MDA + ∠MAD) = 180° – (35° + 55°) = 90°.  Хорди AB і CD перетинаються під прямим кутом (∠AMD = 90°), отже за означенням АВ ﬩ CD, що треба було довести.  

 

Завдання 708

O – центр кола, ∠MBA = 50°. Знайдіть x.

Проведемо відрізок МА. Вписаний кут, який спирається на діаметр прямий, тому ∠АМВ = 90° (наслідок з теореми про вписаний кут).

∆АМВ – прямокутний, за теоремою про суму його гострих кутів  ∠МАВ = 90° – ∠МВА = 90° – 50° = 40°.

Вписаний кут ∠МАВ = 40° спирається на дугу  ͜   МВ, вписаний кут ∠MNB також спирається на дугу  ͜   MB, тому x = ∠MNB = ∠MAB = 40° (за наслідком з теореми про вписаний кут).

Відповідь: х = 40°.

 

Завдання 709 

Доведіть, що кут між дотичною і хордою, що виходить з точки дотику, дорівнює половині дуги, яка лежить між сторонами кута, тобто ∠CAB = ½ ͜   CNA.

За умовою АВ – дотична до кола (ОА ﬩ АВ), ∠ОАВ = 90°.

Центральний кут АОС утворює дугу кола СAN, тому ∠АОС =  ͜   CAN (за означенням дуги кола). 

Відрізки ОА = ОС – радіуси кола з центром у точці О, звідси ∆АОС – рівнобедрений з основою АС (за означенням), за властивістю кутів рівнобедреного трикутника ∠ОАС = ∠ОСА.

За теоремою про суму кутів трикутника ∠АОС + ∠ОАС + ∠ОСА = ∠АОС + 2∠ОАС = 180°,  ∠ОАС = (180° – ∠АОС) : 2 = 90° – ½ ∠АОС. 

За властивістю вимірювання кутів ∠ОАВ = ∠ОАС + 90, звідси ∠САВ = 90° – ∠ОАС  = 90 – (90 – ½ ∠АОС) = 90° – 90° + ½ ∠АОС, отже, ∠САВ = ½ ͜   CAN, що треба було довести.

 

Завдання 710

Рівнобедрений трикутник ABC вписано в коло із центром у точці O, ∠AOB = 80°. Знайдіть кути трикутника ABC. Скільки розв'язків має задача?

Рівнобедрений трикутник ABC вписано в коло із центром у точці O, тоді коло з центром О описане навколо цього трикутника.

Задача має три розв’язки.

І варіант

Центр кола О всередині трикутника АВС. Дуга кола центрального кута АОВ є дугою, на який спирається вписаний кут, проведений із вершини рівнобедреного трикутника.

Центральний кут АОВ утворює дугу кола   ͜   АВ,   ͜   АВ = ∠АОВ = 80°.

Кут трикутника  ∠С = ∠АСВ – є вписаним кутом, який спирається на дугу   ͜   АВ, за теоремою про вписаний кут ∠АСВ = ½   ͜   АВ = 80° : 2 = 40°.

Кут при вершині рівнобедреного трикутника ∠С = 40°.

За умовою ∆АВС – рівнобедрений з основою АВ, тоді за властивістю кутів такого трикутника ∠А = ∠В.

За теоремою про суму кутів трикутника ∠С + ∠А + ∠В = ∠С + 2∠В = 180°, звідки ∠А = ∠В = (180° – ∠С) : 2 = (180° – 40°) : 2 = 70°.

Відповідь: 40°, 70°, 70°.  

 

ІІ варіант

Центр кола О поза трикутником АВС. Жодний кут трикутника не є вписаним кутом, який спирається на дугу, яка є дугою кола  центрального кута АОВ.

За умовою ∠АОВ = 80° – центральний кут утворює дугу кола   ͜   АСВ = ∠АОВ = 80°.

Кут трикутника  ∠АСВ – є вписаним кутом, який спирається на дугу   ͜   АВ.

Дуга  ͜   АВ = 360° –   ͜   АСВ = 360° – 80° = 280°.

За теоремою про вписаний кут ∠АСВ = ½  ͜   АВ = 280° : 2 = 140°.

Кут при вершині рівнобедреного трикутника ∠АСВ = 140°.

За умовою ∆АВС – рівнобедрений з основою АВ, за властивістю кутів такого трикутника ∠САВ = ∠СВА.

За теоремою про суму кутів трикутника ∠АСВ + ∠САВ + ∠СВА = ∠АСВ + 2∠САВ = 180°, звідки ∠САВ = ∠СВА = (180° – ∠АСВ) : 2 = (180° – 140°) : 2 = 20°.

Відповідь: 140°, 20°, 20°. 

 

ІІІ варіант

Центр кола О поза трикутником АВС.  Дуга кола центрального кута АОВ є дугою, на який спирається вписаний кут, проведений не із вершини рівнобедреного трикутника. 

Центральний кут АОВ утворює дугу кола   ͜   АВ,   ͜   АВ = ∠АОВ = 80°.

Кут трикутника  ∠BCA – є вписаним кутом, який спирається на дугу   ͜   АВ, за теоремою про вписаний кут ∠BCA = ½   ͜   АВ = 80° : 2 = 40°.

За умовою ∆АВС – рівнобедрений з основою АС, тоді за властивістю кутів такого трикутника ∠BCA = ∠BAC.

Кути трикутника при основі ∠BCA = ∠BAC = 40°.

За теоремою про суму кутів трикутника ∠ABC + ∠BCA + ∠BAC = ∠ABC + 2∠BCA = 180°, звідки ∠ABC = 180° – 2∠BCA = 180° – 40° • 2 = 100°.

Відповідь: 100°, 40°, 40°. 

 

Завдання 711

Рівнобедрений трикутник MNK вписано в коло із центром у точці O, ∠MOK = 100°. Знайдіть кути трикутника MNK. Скільки розв'язків має задача?

Рівнобедрений трикутник ABC вписано в коло із центром у точці O, тоді коло з центром О описане навколо цього трикутника.

Задача має три розв’язки.

І варіант

Центр кола О всередині трикутника MNK. Дуга кола центрального кута MOK є дугою, на який спирається вписаний кут, проведений із вершини рівнобедреного трикутника.

За умовою центральний кут MOK утворює дугу кола   ͜   MK,   ͜   MK = ∠MOK = 100°.

Кут трикутника  ∠N = ∠MNK – є вписаним кутом, який спирається на дугу   ͜   MK, за теоремою про вписаний кут ∠MNK = ½   ͜   MK = 100° : 2 = 50°.

Кут при вершині рівнобедреного трикутника ∠N = 50°.

За умовою ∆MNK – рівнобедрений з основою MK, тоді за властивістю кутів такого трикутника ∠M = ∠K.

За теоремою про суму кутів трикутника ∠N + ∠M + ∠K = ∠N + 2∠M = 180°, звідки ∠M = ∠K = (180° – ∠N) : 2 = (180° – 50°) : 2 = 65°.

Відповідь: 50°, 65°, 65°.  

 

ІІ варіант

Центр кола О поза трикутником MNK. Жодний кут трикутника не є вписаним кутом, який спирається на дугу, яка є дугою кола  центрального кута MOK.

За умовою ∠MOK = 100° – центральний кут утворює дугу кола   ͜   MNK = ∠MOK = 100°.

Кут трикутника  ∠MNK – є вписаним кутом, який спирається на дугу   ͜   MK.

Дуга  ͜   MK = 360° –   ͜   MNK = 360° – 100° = 260°.

За теоремою про вписаний кут ∠MNK = ½   ͜   MK = 260° : 2 = 130°.

Кут при вершині рівнобедреного трикутника ∠MNK = 130°.

За умовою ∆MNK – рівнобедрений з основою MK, за властивістю кутів такого трикутника ∠NMK = ∠NKM.

За теоремою про суму кутів трикутника ∠MNK + ∠NMK + ∠NKM = ∠MNK + 2∠NMK = 180°, звідки ∠NMK = ∠NKM = (180° – ∠MNK) : 2 = (180° – 130°) : 2 = 25°.

Відповідь: 130°, 25°, 25°. 

 

ІІІ варіант

Центр кола О всередині трикутника MNK.  Дуга кола центрального кута MOK є дугою, на який спирається вписаний кут, проведений не із вершини рівнобедреного трикутника. 

Центральний кут MOK утворює дугу кола   ͜   MK,   ͜   MK = ∠MOK = 100°.

Кут трикутника  ∠MNK – є вписаним кутом, який спирається на дугу   ͜   MK, за теоремою про вписаний кут ∠MNK = ½   ͜   MK = 100° : 2 = 50°.

За умовою ∆MNK – рівнобедрений з основою MN, тоді за властивістю кутів такого трикутника ∠KMN = ∠KNM.

Кути трикутника при основі ∠KMN = ∠KNM = 50°.

За теоремою про суму кутів трикутника ∠MKN + ∠KMN + ∠KNM = ∠MKN + 2∠KNM = 180°, звідки ∠MKN = 180° – 2∠KMN = 180° – 50° • 2 = 80°.

Відповідь: 80°, 50°, 50°. 

 

Завдання 712

Коло поділено трьома точками на частини, які відносяться як 1 : 2 : 6, і точки поділу сполучено між собою. Знайдіть кути утвореного трикутника.

Кути утвореного трикутника є вписаними кутами, які спираються на три дуги, що сумарно дають градусну міру дуги, яка є колом.

Градусна міра дуги, що є колом дорівнює 360°.

Нехай х (°) – градусна міра першої дуги, тоді 2х (°) – градусна міра другої дуги, 6х (°) – градусна міра третьої дуги.  

Складемо рівняння.

х + 2х + 6х = 360

9х = 360

х = 360 : 9

х = 40 (°) – перша дуга.

2х = 40 • 2 = 80 (°) – друга дуга.

6х = 40 • 6 = 240 (°) – третя дуга.

За теоремою про вписаний кут він дорівнює половині градусної міри дуги, на яку він спирається.

40 : 2 = 20 (°) – перший вписаний кут.

80 : 2 = 40 (°) – другий вписаний кут.

240 : 2 = 120 (°) – другий вписаний кут.

Відповідь: 20°, 40°, 120°. 

 

Для повторення

Завдання 713

Дано кут 30°. Коло радіусом 5 см дотикається до сторони кута і має центр на його іншій стороні. Обчисліть відстань від центра кола до вершини кута.

За умовою ∠СВО = 30°, радіус кола СО = 5 см дотикається до сторони ВС, тоді ОС ﬩ ВС. ∆ВСО – прямокутний трикутник (∠ВСО = 90°). Катет СО = ½ ВО (катет проти кута 30° дорівнює половині гіпотенузи), звідки ВО = 2СО = 5 см • 2 = 10 см.

Відповідь: 10 см.  

 

Завдання 714

Випишіть у порядку зростання внутрішні кути трикутника ABC, якщо AB = 5 см, BC = 9 см, AC = 6 см.

Більша сторона трикутника лежить проти більшого кута.

Сторона АВ = 5 см лежить проти кута ∠С.

Сторона АС = 6 см лежить проти кута ∠В.

Сторона ВС = 9 см лежить проти кута ∠А.

Внутрішні кути трикутника у порядку зростання (від меншого до більшого):

∠С, ∠В, ∠А.

 

Життєва математика

Завдання 715

Щоб витягти з колодязя відро води, потрібно зробити 12 обертів вала. Знайдіть глибину колодязя, якщо діаметр вала дорівнює 32 см. Для спрощення обчислень вважайте, що π ≈ 3.

Розв’язання

1) l = πd = 32 • 3 = 96 (см) – довжина вала.

2) 96 • 12 = 1152 (см) = 11 км 52 см – глибина колодязя.

Відповідь: глибина колодязя 11 км 52 м.

 

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

Завдання 716

1) Накресліть відрізок MN завдовжки 6 см. Узявши точки М і N за центри, проведіть два кола, одне з яких (із центром у точці М) радіусом 4 см, а друге (із цен­тром у точці N) радіусом 2 см.

2) Ці кола мають одну спільну точку Р.

MN = 6 см, МР = 4 см, NР = 2 см, МР + NР = MN, точка Р є MN.

 

Завдання 717

1) Накресліть відрізок AB завдовжки 5 см. Узявши точки A і B за центри, проведіть два кола, одне з яких (із центром у точці A) радіусом 3 см, а друге (із центром у точці B) радіусом 4 см.

2) Ці два кола мають дві спільні точки.

АВ = 5 см, АС = 3 см, ВС = 4 см, виконується нерівність трикутника для найбільшої сторони (5 см < 3 см + 4 см), точки А, В, С не можуть лежати на одній прямій.

Відповідно АВ = 5 см, АD = 3 см, ВD = 4 см, виконується нерівність трикутника для найбільшої сторони (5 см < 3 см + 4 см), точки А, В, D не можуть лежати на одній прямій.

 

Цікаві задачі

Завдання 718

У кожній клітинці прямокутної дошки (шахової) розміром 2025 х 2027 клітинок сидить жук. За сигналом усі жуки переповзають на сусідні (по горизонталі або вертикалі) клітинки. Чи обов'язково при цьому залишиться вільна клітинка?

Добуток чисел – непарне число (у розряді одиниць 5, бо 5 • 7 = 35), тому кількість чорних і білих клітинок різна, відповідно кількість жуків, що сидять на них також різна.  

За сигналом усі жуки переповзають на сусідні (по горизонталі або вертикалі) клітинки. Маємо умову переміщення жуків: жук із чорної клітинки може попасти тільки в білу, а з білої клітинки – тільки у чорну.

Нехай білих клітинок більше, ніж чорних, відповідно жуків на білих клітинках більше, ніж жуків на чорних клітинках.   

У такому випадку тепер жуки, які спочатку були на чорних клітинках, не зможуть зайняти всі білі клітинки. Якщо чорних клітинок більше, після переміщення залишаться вільні чорні клітинки, і навпаки.

Отже, після переміщення жуків обов’язково залишиться вільна клітинка.  

Інші завдання дивись тут...