ГДЗ геометрія 7 клас коло, вписане в трикутник, властивість бісектриси кута (відповіді до підручника Істера)

Серія "Вчимось разом" до підручника "Геометрія 7 клас Істер О."

(умови завдань з підручника подані чорним кольором)

§ 23 Коло, вписане в трикутник, властивість бісектриси кута

Завдання 657

Коло, вписане у трикутник, зображено на малюнку 23.3.

Завдання 658

Накресліть гострокутний трикутник. За допомогою транспортира, циркуля і лінійки побудуйте коло, вписане в трикутник.

∆ АВС – гострокутний.

ВО – бісектриса кута В трикутника (проведена до сторони до сторони АС), АО – бісектриса кута А (проведена до сторони ВС), СО – бісектриса кута С (проведена до сторони АВ).

Точка О – точка перетину бісектрис трикутника, центр вписаного кола.

ОК – перпендикуляр до сторони ВС, ОК ﬩ ВС.

ОК – радіус вписаного кола.

Завдання 659

Накресліть прямокутний трикутник. За допомогою транспортира, циркуля і лінійки побудуйте коло, вписане в цей трикутник.

∆ АВС – тупокутний.

Точка О – точка перетину бісектрис трикутника, центр вписаного кола.

ОК – перпендикуляр до сторони ВС, ОК ﬩ ВС.

ОК – радіус вписаного кола.

Завдання 660 Малюнок 23.1

У ∆ABC вписано коло із центром у точці I. Знайдіть кути трикутника ABC, якщо ∠IBK = 35°, ∠MCI = 25°.

За умовою BІ – бісектриса кута В, тому ∠В = 2∠IBK = 35° • 2 = 70°.

За умовою СІ – бісектриса кута С, тому ∠С = 2∠МСІ = 25° • 2 = 50°.

За теоремою про суму кутів трикутника ∠А = 180° – (∠В + ∠С) = 180° – (70° + 50°) = 60°.

Відповідь: 60°, 70°, 50°.

Завдання 661

У ∆ABC вписано коло із центром у точці I. ∠CAB = 70°, ∠CBA = 60°. Знайдіть ∠MCI.

За умовою СІ – бісектриса кута ∠С, тому ∠С = 2∠МСІ.

За теоремою про суму кутів трикутника ∠С = 180° – (∠САВ + ∠САВ) = 180° – (70° + 60°) = 50°.

∠МСІ = ∠С : 2 = 50° : 2 = 25°.

Відповідь: 25°.

Завдання 662

Точка I – центр кола, вписаного в різносторонній трикутник ABC, M, K і L – точки дотику. Знайдіть усі пари рівних між собою трикутників на цьому малюнку.

Відрізки ІМ, ІL, ІК – перпендикуляри до сторін трикутника, тому ∠CLI = ∠BLI = ∠BKI = ∠AKI = ∠AMI = ∠CMI = 90°.

Прямокутні трикутники ∆МСI = ∆LCI, оскільки СІ – бісектриса кута С, ∠МСІ = ∠LСI, СІ – спільна гіпотенуза (за гіпотенузою і гострим кутом).

Прямокутні трикутники ∆LBI = ∆KBI, оскільки BІ – бісектриса кута B, ∠LBI = ∠KBI, BІ – спільна гіпотенуза (за гіпотенузою і гострим кутом).

Прямокутні трикутники ∆KAI = ∆MAI, оскільки AІ – бісектриса кута A, ∠KAІ = ∠MAI, AІ – спільна гіпотенуза (за гіпотенузою і гострим кутом).

Відповідь: маємо три пари рівних трикутників.

Завдання 663

Доведіть, що центр кола, яке дотикається до сторін кута, лежить на бісектрисі кута.

За умовою коло з центром в точці О дотикається до сторін кута М, тоді ОА = ОВ – радіуси кола, згідно властивості відрізків дотичних до кола, проведених з однієї точки, МА = МВ. МО – спільна сторона. За трьома сторонами ∆АМО = ∆ВМО, тому рівні відповідні кути ∠АМО = ∠ВМО. За властивістю вимірювання кутів ∠М = ∠АМО + ∠ВМО = 2∠АМО. Отже відрізок МО – бісектриса кута М.

Завдання 664

Накресліть кут градусної міри 110°. За допомогою циркуля, косинця і транспортира впишіть у кут коло довільного радіуса, тобто побудуйте коло, яке дотикається до сторін даного кута.

∠АВС = 110°.

ВО – бісектриса кута АВС, ∠ОАВ = ∠ОВС = 55°.

ОК – перпендикуляр до сторони ВС, ОК ﬩ ВС.

О – центр вписаного кола у трикутник з радіусом ОК.

Завдання 665

Накресліть кут градусної міри 70°. За допомогою циркуля, косинця і транспортира впишіть у нього коло довільного радіуса.

∠АВС = 70°.

ВО – бісектриса кута АВС, ∠ОАВ = ∠ОВС = 35°.

ОК – перпендикуляр до сторони ВС, ОК ﬩ ВС.

О – центр вписаного кола у трикутник з радіусом ОК.

Завдання 666

У трикутнику центр вписаного кола лежить на медіані. Доведіть, що це рівнобедрений трикутник.

За умовою точка О – центр вписаного кола у трикутник АВС, за означенням вписаного кола С₁, А₁, В₁ – точки дотику. Тоді для дотичних до кола, проведених із точки В, за властивістю відрізків дотичних ВС₁ = ВА₁.

За умовою ВВ₁ – медіана кута В, тобто АВ₁ = СВ₁. Через вершину В і центр О можна провести тільки одну пряму, тому медіана є бісектрисою.

Для дотичних до кола, проведених із точки А, за властивістю відрізків дотичних АС₁ = АВ₁, а для дотичних до кола, проведених із точки С, за властивістю відрізків дотичних СА₁ = СВ₁. Якщо рівні праві частини, тоді ліві АС₁ = СА₁.

За властивістю вимірювання відрізків АВ = АС₁ + ВС₁, ВС = СА₁ + ВА₁, де рівні праві частини рівності, тому АВ = ВС. Отже, за означенням трикутник АВС рівнобедрений.

Завдання 667

У трикутнику центр вписаного кола лежить на висоті. Доведіть, що цей трикутник є рівнобедреним.

За умовою точка О – центр вписаного кола у трикутник АВС, С₁, А₁, В₁ – точки дотику.

ВВ₁ – висота трикутника, тоді ∠ВВ₁А = ∠ВВ₁С = 90°. Через вершину В і центр О можна провести тільки одну пряму, тому висота є бісектрисою, звідси ∠АВВ₁ = ∠В : 2, ∠СВВ₁ = ∠В : 2.

Розглянемо прямокутні трикутники АВВ₁ і СВВ₁. ∠А = 90° – ∠АВВ₁ = 90° – ∠В : 2, ∠В = 90° – ∠СВВ₁ = 90° – ∠В : 2, звідси ∠А = ∠В. Отже, трикутник АВС – рівнобедрений (за ознакою рівних кутів рівнобедреного трикутника).

Завдання 668

У ∆ABC вписано коло, яке дотикається до сторін AB, AC і BC у точках P, F і M відповідно. Знайдіть AP, PB, BM, MC, CF і FA, якщо AB = 8 см, BC = 6 см, AC = 12 см.

За умовою BC і AB – дотичні з точки B, ВС і АС – дотичні з точки С, АВ і АС – дотичні з точки А.

За властивістю відрізків дотичних, проведених із однієї точки, маємо три пари рівних відрізків: PB = BM, CM = CF, АР = АF.

AP + PB + BM + MC + CF + FA = P_ABC

2АР + 2ВМ + 2СМ = P_ABC

АР + ВМ + СМ = P_ABC /2

P_ABC /2 = (АВ + ВС + АС)/2 = (8 + 6 + 12) : 2 = 13 (см)

АР = AF = P_ABC /2 – (ВМ + СМ) = P_ABC /2 – ВС = 13 – 6 = 7 (см)

ВМ = РВ = P_ABC /2 – (АР + СМ) = P_ABC /2 – (АF + FМ) = P_ABC /2 – AC = 13 – 12 = 1 (см)

CM = CF = P_ABC /2 – (АР + BМ) = P_ABC /2 – (АP + PB) = P_ABC /2 – AB = 13 – 8 = 5 (см)

Відповідь: AP = AF = 7 см, BP = BM = 1 см, СМ = CF = 5 см.

Завдання 669

Знайдіть довжини сторін трикутника, якщо точки дотику кола, вписаного в цей трикутник, ділять його сторони на відрізки, три з яких дорівнюють 4 см, 6 см і 8 см.

За умовою BC і AB – дотичні з точки B, ВС і АС – дотичні з точки С, АВ і АС – дотичні з точки А.

За властивістю відрізків дотичних, проведених із однієї точки, маємо три пари рівних відрізків: PB = BM = 4 см, CM = CF = 6 см, АР = АF = 8 см.

ВС = ВМ + СМ = 4 см + 6 см = 10 см

АС = AF + CF = 8 см + 6 см = 14 см

АВ = РВ + АР = 4 см + 8 см = 12 см

Відповідь: 10 см, 12 см, 14 см.

Завдання 670

Коло, вписане в рівнобедрений трикутник, ділить його бічну сторону на відрізки 3 см і 4 см, починаючи від основи. Знайдіть периметр трикутника.

За умовою трикутник АВС – рівнобедрений з основою АС, BC і AB – дотичні з точки B, ВС і АС – дотичні з точки С, АВ і АС – дотичні з точки А.

За властивістю відрізків дотичних, проведених із однієї точки, маємо три пари рівних відрізків: СВ₁ = СA₁ = 3 см, ВА₁ = BС₁ = 4 см, АС₁ = АВ₁.

Оскільки трикутник рівнобедрений, тоді бісектриса ВВ₁ є медіаною, тому АВ₁ = СВ₁ = 3 см = АС₁.

Р_АВС = АВ + ВС + АС = (АС₁ + ВС₁) + (ВА₁ + СА₁) + (АВ₁ + СВ₁) = 4СВ₁ + 2ВА₁ = 4 • 3 см + 2 • 4 см = 20 см.

Відповідь: 20 см.

Завдання 671

Коло, вписане в рівнобедрений трикутник, ділить його бічну сторону на відрізки 5 см і 7 см, починаючи від вершини, що протилежна основі. Знайдіть периметр трикутника.

За властивістю відрізків дотичних, проведених із однієї точки, маємо три пари рівних відрізків: СВ₁ = СA₁, ВC₁ = BA₁ = 5 см, АС₁ = АВ₁ = 7 см.

Оскільки трикутник рівнобедрений, тоді бісектриса ВВ₁ є медіаною, тому AB₁ = CB₁, звідси AC₁ = АВ₁ = СВ₁ = CA₁ = 7 см

Р_АВС = АВ + ВС + АС = (АС₁ + ВС₁) + (ВА₁ + СА₁) + (АВ₁ + СВ₁) = 4AC₁ + 2BC₁ = 4 • 7 см + 2 • 5 см = 38 см.

Відповідь: 38 см.

Вправи для повторення

Завдання 672

Доведіть, що висоти, проведені до бічних сторін гострокутного рівнобедреного трикутника, між собою рівні.

За умовою трикутник АВС – рівнобедрений з основою АС, тоді ∠А = ∠С.

АМ – висота до бічної сторони ВС (АМ ﬩ ВС), СР – висота до бічної сторони АВ (СР ﬩ АВ).

АС – спільна сторона прямокутних трикутників РСА і МАС, ∠А = ∠С, тому ∆РСА = ∆МАС (за гіпотенузою і гострим кутом). Отже, відповідні сторони, що є висотами, АМ = СР.

Завдання 673

Гострі кути прямокутного трикутника відносяться як 2 : 3. Знайдіть кут між бісектрисою і висотою, проведеними з вершини прямого кута.

Нехай АВС – прямокутний трикутник, де ∠В = 90°.

Відрізок ВК – бісектриса кута В, тому ∠СВК = ∠В : 2 = 90° : 2 = 45°.

У трикутнику АВС проти більшої сторони ВА лежить більший кут ∠С, тому ∠С : ∠А = 3 : 2

Сума гострих кутів прямокутного трикутника АВС дорівнює 90°.

Нехай 2х (°) – гострий кут А, 3х (°) – гострий кут С. Складемо рівняння.

2х + 3х = 90

5х = 90

х = 90 : 5

х = (50 + 40) : 5

х = 18 (°) – градусна міра частини.

3х = 18 • 3 = (10 + 8) • 3 = 30 + 24 = 54 (°) – гострий кут С.

Для трикутника СКВ знайдемо ∠СКВ = 180° – (54° + 45°) = 81°. Точка Р належить відрізку СК, тому ∠СКВ = ∠РКВ = 81°.

Для прямокутного трикутника ВРК знайдемо РВК = 90° – РКВ = 90° – 81° = 9°, він є шуканим кутом між бісектрисою і висотою, проведеними з вершини прямого кута.

Відповідь: 9°.

Завдання 674 Яка швидкість поїзда (у км/год), якщо діаметр його колеса дорівнює 120 см і воно робить 360 обертів за хвилину? (Прийміть π = 3)

Розв’язання

1) l = 2πr = πd = 3 • 120 = 360 (cм) = 3,6 (м) – відстань за один оберт (довжина обода колеса).

2) 3,6 • 360 = 1296 (м) – відстань за 1 хв.

3) 1296 • 60 = 77760 (м/год) = 77,76 (км/год)

Відповідь: швидкість потяга 77,76 км/год.

Завдання 675 Квадрат розрізали на вісім квадратів. Чи обов'язково п'ять з них рівні між собою?

Не обов’язково.